数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 47
47｜円に内接する四角形の面積①
47
円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm BC}=5~,~\)\({\rm CD}=4~,~\)\(\angle {\rm ABC}=60^\circ\) のとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm AC}=\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}\) \({\small (2)}~\)\({\rm AD}=\fbox{ウ}\)
\({\small (3)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(=\fbox{エ}\,\sqrt{\,\fbox{オ}\,}\)
円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm BC}=5~,~\)\({\rm CD}=4~,~\)\(\angle {\rm ABC}=60^\circ\) のとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm AC}=\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}\) \({\small (2)}~\)\({\rm AD}=\fbox{ウ}\)
\({\small (3)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(=\fbox{エ}\,\sqrt{\,\fbox{オ}\,}\)
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
47 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm AC}=\sqrt{\,21\,}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AD}=1\)
\({\small (3)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(=6\sqrt{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&16+25-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&41-20
\\[3pt]~~~&=&21\end{eqnarray}\)
\({\rm AC} \gt 0\) より、\({\rm AC}=\sqrt{\,21\,}\)
\({\small (2)}~\)
また、円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm B}+\angle {\rm D}&=&180^\circ
\\[3pt]~~~\angle {\rm D}&=&180^\circ-60^\circ
\\[3pt]~~~\angle {\rm D}&=&120^\circ\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm AD}=x\) として、\({\rm \triangle ACD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{\,21\,})^2&=&x^2+4^2-2 \cdot x \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ
\\[3pt]~~~21&=&x^2+16-8x \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~0&=&x^2+16-21+4x
\\[3pt]~~~x^2+4x-5&=&0
\\[3pt]~~~(x+5)(x-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(x \gt 0\) より、\(x={\rm AD}=1\)
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AB}=4~,~{\rm BC}=5\) とその間の角 \(60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&5\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm \triangle ACD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AD}=1~,~{\rm CD}=4\) とその間の角 \(120^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ACD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積は、
\(5\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,3\,}=6\sqrt{\,3\,}\)
したがって、面積 \(6\sqrt{\,3\,}\) となる
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