数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 43
43｜正弦定理と余弦定理
43
\(\triangle {\rm ABC}\) において、次の値を求めよ。ただし、\(R\) は外接円の半径とする。
\({\small (1)}~\)\({A}=45^\circ~,~{C}=75^\circ~,~a=4\) のとき、
\(b=\fbox{ア}\,\sqrt{\,\fbox{イ}\,}~,~R=\fbox{ウ}\,\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(a=2\sqrt{\,3\,}~,~c=3+\sqrt{\,3\,}~,~{B}=60^\circ\) のとき、
\(b=\fbox{オ}\,\sqrt{\,\fbox{カ}\,}~,~{A}=\fbox{キク}^\circ~,~{C}=\fbox{ケコ}^\circ\)
\(\triangle {\rm ABC}\) において、次の値を求めよ。ただし、\(R\) は外接円の半径とする。
\({\small (1)}~\)\({A}=45^\circ~,~{C}=75^\circ~,~a=4\) のとき、
\(b=\fbox{ア}\,\sqrt{\,\fbox{イ}\,}~,~R=\fbox{ウ}\,\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(a=2\sqrt{\,3\,}~,~c=3+\sqrt{\,3\,}~,~{B}=60^\circ\) のとき、
\(b=\fbox{オ}\,\sqrt{\,\fbox{カ}\,}~,~{A}=\fbox{キク}^\circ~,~{C}=\fbox{ケコ}^\circ\)
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
43 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(b=2\sqrt{\,6\,}~,~R=2\sqrt{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\)\(b=3\sqrt{\,2\,}~,~{A}=45^\circ~,~{C}=75^\circ\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和は \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{B}&=&180^\circ-({A}+{C})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(45^\circ+75^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-120^\circ\\[3pt]~~~&=&60^\circ\end{eqnarray}\)
次に、\(\angle {\rm A}\) と \(\angle {\rm B}\) についての正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sin 45^\circ\,}&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin 60^\circ\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin 60^\circ\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sin 45^\circ\,}\\[5pt]~~~b \cdot \sin 45^\circ&=&4 \cdot \sin 60^\circ\\[5pt]~~~b \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~b&=&2\sqrt{\,3\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~b&=&2\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)
次に、外接円の半径を \(R\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~2R&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}\\[5pt]~~~2R&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sin 45^\circ\,}\\[5pt]~~~2R&=&4{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~2R&=&4{\, \small \times \,}\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~R&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(b=2\sqrt{\,6\,}~,~R=2\sqrt{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~\)
\({B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&c^2+a^2-2ca\cos {B}\\[3pt]~~~&=&(3+\sqrt{\,3\,})^2+(2\sqrt{\,3\,})^2-2(3+\sqrt{\,3\,}) \cdot 2\sqrt{\,3\,} \cdot \cos 60^\circ\\[3pt]~~~&=&9+6\sqrt{\,3\,}+3+12-2(3+\sqrt{\,3\,}) \cdot 2\sqrt{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&24+6\sqrt{\,3\,}-6\sqrt{\,3\,}-6\\[3pt]~~~&=&18\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(b \gt 0\) より、\(b=\sqrt{\,18\,}=3\sqrt{\,2\,}\)
次に、\({A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}\\[3pt]~~~(2\sqrt{\,3\,})^2&=&(3\sqrt{\,2\,})^2+(3+\sqrt{\,3\,})^2-2 \cdot 3\sqrt{\,2\,} \cdot (3+\sqrt{\,3\,}) \cdot \cos {A}\\[3pt]~~~12&=&18+9+6\sqrt{\,3\,}+3-6\sqrt{\,2\,}(3+\sqrt{\,3\,})\cos {A}\\[3pt]~~~6\sqrt{\,2\,}(3+\sqrt{\,3\,})\cos {A}&=&18+6\sqrt{\,3\,}\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,6(3+\sqrt{\,3\,})\,}{\,6\sqrt{\,2\,}(3+\sqrt{\,3\,})\,}\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となる点は、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形ができるので、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({A}=45^\circ\)
次に、内角の和は \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{A}+{B}+{C}&=&180^\circ\\[3pt]~~~{C}&=&180^\circ-({A}+{B})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(45^\circ+60^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-105^\circ\\[3pt]~~~&=&75^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(b=3\sqrt{\,2\,}~,~{A}=45^\circ~,~{C}=75^\circ\) となる
【別解】（\(b=3\sqrt{\,2\,}\) まで同じ）
\(\angle {\rm A}\) と \(\angle {\rm B}\) についての正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sin {A}\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sin 60^\circ\,}\\[5pt]~~~2\sqrt{\,3\,}{\, \small \times \,}\sin 60^\circ&=&3\sqrt{\,2\,}~\sin {A}\\[3pt]~~~3\sqrt{\,2\,}~\sin {A}&=&2\sqrt{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となる点は、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形ができるので、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({A}=45^\circ~,~135^\circ\)
\({A}=135^\circ\) のとき、\({A}+{B}=135^\circ+60^\circ \gt 180^\circ\) となり、内角の和が \(180^\circ\) 以上となり不適
\({A}=45^\circ\) のとき、
内角の和が \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{C}&=&180^\circ-({A}+{B})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(45^\circ+60^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-105^\circ\\[3pt]~~~&=&75^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(b=3\sqrt{\,2\,}~,~{A}=45^\circ~,~{C}=75^\circ\) となる
図形と計量（三角比）｜問題一覧はこちら→
