数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 44
44｜正弦の比と辺の比
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\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=3:5:7\) が成り立つとき、この三角形の最大の角は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) で、その大きさは \(\fbox{イウエ}^\circ\) である。
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) の選択肢：⓪ \(A\) ① \(B\) ② \(C\)
\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=3:5:7\) が成り立つとき、この三角形の最大の角は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) で、その大きさは \(\fbox{イウエ}^\circ\) である。
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) の選択肢：⓪ \(A\) ① \(B\) ② \(C\)
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
44 数学ⅠA【解答】
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)：② 、\({C}=120^\circ\)
【より詳しい解説】
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺を \(a~,~b~,~c\) とすると、
正弦定理より
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=a:b:c\)
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=3:5:7\) より、
\(a:b:c=3:5:7\)
ここで、正の数 \(k\) を用いて、
\(a=3k~,~b=5k~,~c=7k\)
\(c\) が最大の辺より、\({C}\) が最大の角となるので、\({C}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~c^2&=&a^2+b^2-2ab\cos {C}\\[3pt]~~~(7k)^2&=&(3k)^2+(5k)^2-2 \cdot 3k \cdot 5k \cdot \cos {C}\\[3pt]~~~30k^2\cos {C}&=&9k^2+25k^2-49k^2\\[3pt]~~~\cos {C}&=&\displaystyle \frac{\,-15k^2\,}{\,30k^2\,}\\[5pt]~~~\cos {C}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({C}=120^\circ\)
したがって、最大の角は \({C}=120^\circ\) となる
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