数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 40
40｜90°-θ、90°+θ、180°-θの三角比の値
40
次の値を求めよ。
次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\sin 70^\circ\cos 160^\circ-\sin 160^\circ\cos 70^\circ=\fbox{アイ}\)
\({\small (2)}~\)\(\sin (90^\circ+\theta)\cos \theta-\cos (90^\circ+\theta)\sin \theta=\fbox{ウ}\)
\({\small (3)}~\)\(\tan \theta\tan (90^\circ-\theta)\tan (90^\circ+\theta)\tan (180^\circ-\theta)=\fbox{エ}\)
\({\small (2)}~\)\(\sin (90^\circ+\theta)\cos \theta-\cos (90^\circ+\theta)\sin \theta=\fbox{ウ}\)
\({\small (3)}~\)\(\tan \theta\tan (90^\circ-\theta)\tan (90^\circ+\theta)\tan (180^\circ-\theta)=\fbox{エ}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
40 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(-1\)
\({\small (2)}~\)\(1\)
\({\small (3)}~\)\(1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(70^\circ\) と \(160^\circ\) を \(90^\circ-\theta\)、\(180^\circ-\theta\) の形に表すと、
\(70^\circ=90^\circ-20^\circ~,~160^\circ=180^\circ-20^\circ\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 70^\circ&=&\sin(90^\circ-20^\circ)
\\[3pt]~~~&=&\cos 20^\circ\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 70^\circ&=&\cos(90^\circ-20^\circ)
\\[3pt]~~~&=&\sin 20^\circ\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 160^\circ&=&\sin(180^\circ-20^\circ)
\\[3pt]~~~&=&\sin 20^\circ\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 160^\circ&=&\cos(180^\circ-20^\circ)
\\[3pt]~~~&=&-\cos 20^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(-1\) となる
\(\sin(90^\circ+\theta)=\cos\theta\)
\(\cos(90^\circ+\theta)=-\sin\theta\)
したがって、\(1\) となる
\(\tan(90^\circ-\theta)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\)
\(\tan(90^\circ+\theta)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\)
\(\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\)
したがって、\(1\) となる
\({\small (1)}~\)\(-1\)
\({\small (2)}~\)\(1\)
\({\small (3)}~\)\(1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(70^\circ\) と \(160^\circ\) を \(90^\circ-\theta\)、\(180^\circ-\theta\) の形に表すと、
\(70^\circ=90^\circ-20^\circ~,~160^\circ=180^\circ-20^\circ\)
\(90^\circ-\theta\) の三角比は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 70^\circ&=&\sin(90^\circ-20^\circ)
\\[3pt]~~~&=&\cos 20^\circ\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 70^\circ&=&\cos(90^\circ-20^\circ)
\\[3pt]~~~&=&\sin 20^\circ\end{eqnarray}\)
また、\(180^\circ-\theta\) の三角比は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 160^\circ&=&\sin(180^\circ-20^\circ)
\\[3pt]~~~&=&\sin 20^\circ\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 160^\circ&=&\cos(180^\circ-20^\circ)
\\[3pt]~~~&=&-\cos 20^\circ\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 70^\circ\cos 160^\circ-\sin 160^\circ\cos 70^\circ
\\[3pt]~~~&=&\cos 20^\circ \cdot (-\cos 20^\circ)-\sin 20^\circ \cdot \sin 20^\circ
\\[3pt]~~~&=&-\cos^2 20^\circ-\sin^2 20^\circ
\\[3pt]~~~&=&-(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\cos 20^\circ \cdot (-\cos 20^\circ)-\sin 20^\circ \cdot \sin 20^\circ
\\[3pt]~~~&=&-\cos^2 20^\circ-\sin^2 20^\circ
\\[3pt]~~~&=&-(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(-1\) となる
\({\small (2)}~\)\(90^\circ+\theta\) の三角比は、
\(\sin(90^\circ+\theta)=\cos\theta\)
\(\cos(90^\circ+\theta)=-\sin\theta\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin (90^\circ+\theta)\cos \theta-\cos (90^\circ+\theta)\sin \theta
\\[3pt]~~~&=&\cos \theta \cdot \cos \theta-(-\sin \theta) \cdot \sin \theta
\\[3pt]~~~&=&\cos^2 \theta+\sin^2 \theta
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\cos \theta \cdot \cos \theta-(-\sin \theta) \cdot \sin \theta
\\[3pt]~~~&=&\cos^2 \theta+\sin^2 \theta
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(1\) となる
\({\small (3)}~\)\(90^\circ-\theta\)、\(90^\circ+\theta\)、\(180^\circ-\theta\) の正接は、
\(\tan(90^\circ-\theta)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\)
\(\tan(90^\circ+\theta)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\)
\(\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\tan\theta\tan(90^\circ-\theta)\tan(90^\circ+\theta)\tan(180^\circ-\theta)
\\[5pt]~~~&=&\tan\theta \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,} \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\right) \cdot (-\tan\theta)
\\[5pt]~~~&=&\left(\tan\theta \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\right){\, \small \times \,}\left\{\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\right) \cdot (-\tan\theta)\right\}
\\[5pt]~~~&=&1{\, \small \times \,}1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\tan\theta \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,} \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\right) \cdot (-\tan\theta)
\\[5pt]~~~&=&\left(\tan\theta \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\right){\, \small \times \,}\left\{\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\right) \cdot (-\tan\theta)\right\}
\\[5pt]~~~&=&1{\, \small \times \,}1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(1\) となる
図形と計量（三角比）｜問題一覧はこちら→
