共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）の基本問題15問【PDF・解説つき】 | ページ 2

38｜三角比の値

次の三角比の値を、下の選択肢から選べ。

\({\small (1)}~\)次の表の空欄をうめよ。

　\(\begin{array}{c|ccccc}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ
\\ \hline
\sin\theta & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}
\\[3pt] \cos\theta & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{サ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{シ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ス} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{セ}
\end{array}\)

　\(\begin{array}{c|cccc}
\theta & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ
\\ \hline
\sin\theta & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}
\\[3pt] \cos\theta & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{タ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ツ}
\end{array}\)

選択肢：
　⓪ \(0\)　① \(1\)　② \(-1\)　③ \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\)　④ \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\)

　⑤ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\)　⑥ \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\)　⑦ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)　⑧ \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

\({\small (2)}~\)次の表の空欄をうめよ。

　\(\begin{array}{c|ccccc}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ
\\ \hline
\tan\theta & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{テ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ト} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ナ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ニ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ヌ}
\end{array}\)

　\(\begin{array}{c|cccc}
\theta & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ
\\ \hline
\tan\theta & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ネ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ノ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ハ} & \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ヒ}
\end{array}\)

選択肢：
　⓪ \(0\)　① \(1\)　② \(-1\)　③ \(\sqrt{\,3\,}\)　④ \(-\sqrt{\,3\,}\)

　⑤ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\)　⑥ \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\)　⑦ 定義されない

共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）

38 数学ⅠA【解答】

\({\small (1)}~\)

　\(\begin{array}{c|ccccc}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ
\\ \hline
\sin\theta & 0 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} & \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} & 1
\\[5pt] \cos\theta & 1 & \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0
\end{array}\)

　\(\begin{array}{c|cccc}
\theta & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ
\\ \hline
\sin\theta & \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0
\\[5pt] \cos\theta & -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} & -\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} & -1
\end{array}\)

\({\small (2)}~\)

　\(\begin{array}{c|ccccc}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ
\\ \hline
\tan\theta & 0 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,} & 1 & \sqrt{\,3\,} & ×
\end{array}\)

　\(\begin{array}{c|cccc}
\theta & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ
\\ \hline
\tan\theta & -\sqrt{\,3\,} & -1 & -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,} & 0
\end{array}\)

【より詳しい解説】
\(0^\circ\) を座標平面の半径 \(1\) の半円上に表すと、

点 \({\rm P}\) の座標は \((1~,~0)\) 、半径 \(1\) となるので、

\(\begin{eqnarray}~~~\sin 0^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1\,}=0\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\cos 0^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}=1\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\tan 0^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1\,}=0\end{eqnarray}\)

\(30^\circ\) を座標平面の半径 \(2\) の半円上に表すと、

\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、点 \({\rm P}\) の座標は \((\sqrt{\,3\,}~,~1)\) 、半径 \(2\) となるので、

\(\begin{eqnarray}~~~\sin 30^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\cos 30^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\tan 30^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\end{eqnarray}\)

\(45^\circ\) を座標平面の半径 \(\sqrt{\,2\,}\) の半円上に表すと、

\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形より、点 \({\rm P}\) の座標は \((1~,~1)\) 、半径 \(\sqrt{\,2\,}\) となるので、

\(\begin{eqnarray}~~~\sin 45^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\cos 45^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\tan 45^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}=1\end{eqnarray}\)

\(60^\circ\) を座標平面の半径 \(2\) の半円上に表すと、

\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、点 \({\rm P}\) の座標は \((1~,~\sqrt{\,3\,})\) 、半径 \(2\) となるので、

\(\begin{eqnarray}~~~\sin 60^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\cos 60^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\tan 60^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,1\,}=\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)

\(90^\circ\) を座標平面の半径 \(1\) の半円上に表すと、

点 \({\rm P}\) の座標は \((0~,~1)\) 、半径 \(1\) となるので、

\(\begin{eqnarray}~~~\sin 90^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}=1\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\cos 90^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1\,}=0\end{eqnarray}\)

　\(\tan 90^\circ\) は、\(x=0\) より定義されない

\(120^\circ\) を座標平面の半径 \(2\) の半円上に表すと、

\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、点 \({\rm P}\) の座標は \((-1~,~\sqrt{\,3\,})\) 、半径 \(2\) となるので、

\(\begin{eqnarray}~~~\sin 120^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\cos 120^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\tan 120^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,-1\,}=-\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)

\(135^\circ\) を座標平面の半径 \(\sqrt{\,2\,}\) の半円上に表すと、

\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形より、点 \({\rm P}\) の座標は \((-1~,~1)\) 、半径 \(\sqrt{\,2\,}\) となるので、

\(\begin{eqnarray}~~~\sin 135^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\cos 135^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\tan 135^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,-1\,}=-1\end{eqnarray}\)

\(150^\circ\) を座標平面の半径 \(2\) の半円上に表すと、

\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、点 \({\rm P}\) の座標は \((-\sqrt{\,3\,}~,~1)\) 、半径 \(2\) となるので、

\(\begin{eqnarray}~~~\sin 150^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\cos 150^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,-\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\tan 150^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,-\sqrt{\,3\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\end{eqnarray}\)

\(180^\circ\) を座標平面の半径 \(1\) の半円上に表すと、