数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 39
39｜三角比の相互関係の公式
39
次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\theta\) を鋭角とする。\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) とする。\(\tan \theta=-3\) のとき、
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\sqrt{\,\fbox{カキ}\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\sqrt{\,\fbox{ケコ}\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) とする。\(\tan \theta=2\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sin \theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\sin \theta\,}=\fbox{サシ}\)
次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\theta\) を鋭角とする。\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) とする。\(\tan \theta=-3\) のとき、
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\sqrt{\,\fbox{カキ}\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\sqrt{\,\fbox{ケコ}\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) とする。\(\tan \theta=2\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sin \theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\sin \theta\,}=\fbox{サシ}\)
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
39 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(10\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\theta\) は鋭角より、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta+\cos^2 \theta&=&1\\[3pt]~~~\sin^2 \theta&=&1-\cos^2 \theta\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \theta \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
次に、\(\tan \theta\) の相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) で \(\tan \theta=-3 \lt 0\) であることより、\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) となり、
\(\cos \theta \lt 0~,~\sin \theta \gt 0\)
相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)
\(\tan \theta=-3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+(-3)^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta{\, \small \times \,}\cos \theta\end{eqnarray}\)
\(\tan \theta=-3~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&-3{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\right)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) となる
\({\small (3)}~\)通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sin \theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\sin \theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-\sin \theta\,}{\,(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)\,}+\displaystyle \frac{\,1+\sin \theta\,}{\,(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1-\sin \theta)+(1+\sin \theta)\,}{\,(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1-\sin^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-\sin \theta\,}{\,(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)\,}+\displaystyle \frac{\,1+\sin \theta\,}{\,(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1-\sin \theta)+(1+\sin \theta)\,}{\,(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1-\sin^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)
また、相互関係の公式 \(1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}
\\[5pt]~~~&=&2(1+\tan^2 \theta)\end{eqnarray}\)
\(\tan \theta=2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2(1+2^2)
\\[3pt]~~~&=&2(1+4)
\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 5
\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
したがって、\(10\) となる
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