数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 51
51｜立体内部の三角形の面積と垂線の長さ
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直方体 \({\rm ABCD-EFGH}\) において、\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AD}=2~,~\)\({\rm AE}=1\) であるとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm AC}=\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}~,~\)\({\rm AF}=\sqrt{\,\fbox{ウエ}\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\({\rm CF}=\sqrt{\,\fbox{オ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\cos \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\sqrt{\,\fbox{キク}\,}\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\(\sin \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\sqrt{\,\fbox{コサ}\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm AFC}=\displaystyle \frac{\,\fbox{シ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\) であり、
\(\hspace{13pt}\)三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 \(V=\fbox{セ}\) である。
\({\small (4)}~\)点 \({\rm B}\) から \(\triangle {\rm AFC}\) に下ろした垂線を \({\rm BI}\) とすると、\({\rm BI}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ソ}\,}{\,\fbox{タ}\,}\) である。
直方体 \({\rm ABCD-EFGH}\) において、\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AD}=2~,~\)\({\rm AE}=1\) であるとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm AC}=\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}~,~\)\({\rm AF}=\sqrt{\,\fbox{ウエ}\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\({\rm CF}=\sqrt{\,\fbox{オ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\cos \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\sqrt{\,\fbox{キク}\,}\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\(\sin \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\sqrt{\,\fbox{コサ}\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm AFC}=\displaystyle \frac{\,\fbox{シ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\) であり、
\(\hspace{13pt}\)三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 \(V=\fbox{セ}\) である。
\({\small (4)}~\)点 \({\rm B}\) から \(\triangle {\rm AFC}\) に下ろした垂線を \({\rm BI}\) とすると、\({\rm BI}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ソ}\,}{\,\fbox{タ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
51 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm AC}=\sqrt{\,13\,}~,~{\rm AF}=\sqrt{\,10\,}~,~{\rm CF}=\sqrt{\,5\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\cos \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\(\sin \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm AFC}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}~,~V=1\)
\({\small (4)}~\)\({\rm BI}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,7\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\({\rm AC}\) は長方形 \({\rm ABCD}\) の対角線より、三平方の定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}&=&\sqrt{\,3^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,13\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm AF}\) は長方形 \({\rm ABFE}\) の対角線より、三平方の定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AF}&=&\sqrt{\,3^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,10\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm CF}\) は長方形 \({\rm BFGC}\) の対角線より、三平方の定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CF}&=&\sqrt{\,1^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm AC}=\sqrt{\,13\,}~,~{\rm AF}=\sqrt{\,10\,}~,~{\rm CF}=\sqrt{\,5\,}\) となる
\({\small (2)}~\)
\(\triangle {\rm AFC}\) の \(\angle {\rm ACF}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{\,10\,})^2&=&(\sqrt{\,13\,})^2+(\sqrt{\,5\,})^2-2 \cdot \sqrt{\,13\,} \cdot \sqrt{\,5\,} \cdot \cos \angle {\rm ACF}
\\[3pt]~~~10&=&13+5-2\sqrt{\,65\,}\cos \angle {\rm ACF}
\\[3pt]~~~2\sqrt{\,65\,}\cos \angle {\rm ACF}&=&8
\\[5pt]~~~\cos \angle {\rm ACF}&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,2\sqrt{\,65\,}\,}
\\[5pt]~~~\cos \angle {\rm ACF}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~10&=&13+5-2\sqrt{\,65\,}\cos \angle {\rm ACF}
\\[3pt]~~~2\sqrt{\,65\,}\cos \angle {\rm ACF}&=&8
\\[5pt]~~~\cos \angle {\rm ACF}&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,2\sqrt{\,65\,}\,}
\\[5pt]~~~\cos \angle {\rm ACF}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \angle {\rm ACF}&=&1-\cos^2 \angle {\rm ACF}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,65\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,65-16\,}{\,65\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49\,}{\,65\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt \angle {\rm ACF} \lt 180^\circ\) より、\(\sin \angle {\rm ACF} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \angle {\rm ACF}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,49\,}{\,65\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}~,~\sin \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\) となる
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm AFC}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AC}=\sqrt{\,13\,}~,~{\rm CF}=\sqrt{\,5\,}\) とその間の角の \(\sin \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm AFC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \sqrt{\,13\,} \cdot \sqrt{\,5\,} \cdot \displaystyle \frac{\,7\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \sqrt{\,65\,} \cdot \displaystyle \frac{\,7\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
次に、三角錐 \({\rm BAFC}\) の底面を \(\triangle {\rm ABC}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
これより、底面が \(\triangle {\rm ABC}=3\)、高さが \({\rm BF}=1\) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}1
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\triangle {\rm AFC}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}~,~V=1\) となる
\({\small (4)}~\)
垂線 \({\rm BI}\) は、三角錐 \({\rm BAFC}\) の底面を \(\triangle {\rm AFC}\) としたときの高さであるので、
\(V=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\triangle {\rm AFC}{\, \small \times \,}{\rm BI}\)
\(V=1~,~\triangle {\rm AFC}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm BI}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}{\rm BI}&=&1
\\[5pt]~~~{\rm BI}&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm BI}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,7\,}\) となる
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