数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 41
41｜三角比の等式を満たすθ
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) のとき、次を満たす \(\theta\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\sin\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\(\theta=\fbox{アイ}^\circ~,~\fbox{ウエオ}^\circ\)
\({\small (2)}~\)\(\cos\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) のとき、\(\theta=\fbox{カキク}^\circ\)
\({\small (3)}~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\(\theta=\fbox{ケコ}^\circ\)
\({\small (4)}~\)\(\sin\theta=0\) のとき、\(\theta=\fbox{サ}^\circ~,~\fbox{シスセ}^\circ\)
\({\small (5)}~\)\(\sin\theta=1\) のとき、\(\theta=\fbox{ソタ}^\circ\)
\({\small (6)}~\)\(\cos\theta=0\) のとき、\(\theta=\fbox{チツ}^\circ\)
\({\small (7)}~\)\(\cos\theta=1\) のとき、\(\theta=\fbox{テ}^\circ\)
\({\small (8)}~\)\(\cos\theta=-1\) のとき、\(\theta=\fbox{トナニ}^\circ\)
\({\small (9)}~\)\(\tan\theta=1\) のとき、\(\theta=\fbox{ヌネ}^\circ\)
\({\small (10)}~\)\(\tan\theta=-\sqrt{\,3\,}\) のとき、\(\theta=\fbox{ノハヒ}^\circ\)
\({\small (11)}~\)\(\tan\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\) のとき、\(\theta=\fbox{フヘホ}^\circ\)
\({\small (12)}~\)\(\tan\theta=0\) のとき、\(\theta=\fbox{マ}^\circ~,~\fbox{ミムメ}^\circ\)
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
41 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(\theta=30^\circ~,~150^\circ\)
\({\small (2)}~\)\(\theta=135^\circ\)
\({\small (3)}~\)\(\theta=60^\circ\)
\({\small (4)}~\)\(\theta=0^\circ~,~180^\circ\)
\({\small (5)}~\)\(\theta=90^\circ\)
\({\small (6)}~\)\(\theta=90^\circ\)
\({\small (7)}~\)\(\theta=0^\circ\)
\({\small (8)}~\)\(\theta=180^\circ\)
\({\small (9)}~\)\(\theta=45^\circ\)
\({\small (10)}~\)\(\theta=120^\circ\)
\({\small (11)}~\)\(\theta=150^\circ\)
\({\small (12)}~\)\(\theta=0^\circ~,~180^\circ\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点をとると、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となるのは、
\(\theta=30^\circ~,~150^\circ\) となる
\({\small (2)}~\)\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となる点をとると、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となるのは、
\(\theta=135^\circ\) となる
\({\small (3)}~\)\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点をとると、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となるのは、
\(\theta=60^\circ\) となる
\({\small (4)}~\)\(\sin \theta=0\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(0\) となる点をとると、
この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\sin \theta=0\) となるのは、
\(\theta=0^\circ~,~180^\circ\) となる
\({\small (5)}~\)\(\sin \theta=1\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(1\) となる点をとると、
この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\sin \theta=1\) となるのは、
\(\theta=90^\circ\) となる
\({\small (6)}~\)\(\cos \theta=0\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(0\) となる点をとると、
この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\cos \theta=0\) となるのは、
\(\theta=90^\circ\) となる
\({\small (7)}~\)\(\cos \theta=1\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(1\) となる点をとると、
この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\cos \theta=1\) となるのは、
\(\theta=0^\circ\) となる
\({\small (8)}~\)\(\cos \theta=-1\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-1\) となる点をとると、
この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\cos \theta=-1\) となるのは、
\(\theta=180^\circ\) となる
\({\small (9)}~\)\(\tan \theta=1\) より、半径 \(1\) の円と直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm T}(1~,~1)\) とすると、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形ができるので、この直線 \({\rm OT}\) と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\tan \theta=1\) となるのは、
\(\theta=45^\circ\) となる
\({\small (10)}~\)\(\tan \theta=-\sqrt{\,3\,}\) より、半径 \(1\) の円と直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm T}(1~,~-\sqrt{\,3\,})\) とすると、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、この直線 \({\rm OT}\) と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\tan \theta=-\sqrt{\,3\,}\) となるのは、
\(\theta=120^\circ\) となる
\({\small (11)}~\)\(\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\) より、半径 \(1\) の円と直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm T}\left(1~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\right)\) とすると、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、この直線 \({\rm OT}\) と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\) となるのは、
\(\theta=150^\circ\) となる
\({\small (12)}~\)\(\tan \theta=0\) より、半径 \(1\) の円と直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm T}(1~,~0)\) とすると、
この直線 \({\rm OT}\) と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\tan \theta=0\) となるのは、
\(\theta=0^\circ~,~180^\circ\) となる
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