数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 42
42｜直線の傾きとtanθ
42
次の角を求めよ。ただし、\(x\) 軸の正の向きとのなす角は \(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) の範囲で考える。
\({\small (1)}~\)直線 \(y=-x\) と \(x\) 軸の正の向きとのなす角は \(\fbox{アイウ}^\circ\) である。
\({\small (2)}~\)直線 \(y=\sqrt{\,3\,}\,x\) と \(x\) 軸の正の向きとのなす角は \(\fbox{エオ}^\circ\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 直線 \(y=-x\) と \(y=\sqrt{\,3\,}\,x\) とのなす角 \(\theta\)（\(\theta\) は鋭角）は \(\fbox{カキ}^\circ\) である。
次の角を求めよ。ただし、\(x\) 軸の正の向きとのなす角は \(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) の範囲で考える。
\({\small (1)}~\)直線 \(y=-x\) と \(x\) 軸の正の向きとのなす角は \(\fbox{アイウ}^\circ\) である。
\({\small (2)}~\)直線 \(y=\sqrt{\,3\,}\,x\) と \(x\) 軸の正の向きとのなす角は \(\fbox{エオ}^\circ\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 直線 \(y=-x\) と \(y=\sqrt{\,3\,}\,x\) とのなす角 \(\theta\)（\(\theta\) は鋭角）は \(\fbox{カキ}^\circ\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
42 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(135^\circ\)
\({\small (2)}~\)\(60^\circ\)
\({\small (3)}~\)\(75^\circ\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)直線 \(y=-x\) と \(x\) 軸の正の向きとのなす角を \(\alpha\) とすると、
\(\tan \alpha=-1\)
ここで、半径 \(1\) の円と直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm T}(1~,~-1)\) をとると、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形ができるので、この直線 \({\rm OT}\) と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\alpha\) となる
\(\alpha=135^\circ\)
\({\small (2)}~\)直線 \(y=\sqrt{\,3\,}x\) と \(x\) 軸の正の向きとのなす角を \(\beta\) とする。
半径 \(1\) の円と直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm T}(1~,~\sqrt{\,3\,})\) をとると、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、この直線 \({\rm OT}\) と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\beta\) となる
\(\beta=60^\circ\)
\({\small (3)}~\)\(2\) 直線のなす角 \(\theta\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\alpha-\beta\\[3pt]~~~&=&135^\circ-60^\circ\\[3pt]~~~&=&75^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(\theta=75^\circ\) となる
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