数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 48
48｜円に内接する四角形の面積②
48
円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm BC}=5~,~\)\({\rm CD}=2~,~\)\({\rm AD}=4\) である。\(\angle {\rm ABC}=\theta\) とし、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積を \(S\) とするとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) \({\small (2)}~\)\(S=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\,}{\,\fbox{カ}\,}\)
円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm BC}=5~,~\)\({\rm CD}=2~,~\)\({\rm AD}=4\) である。\(\angle {\rm ABC}=\theta\) とし、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積を \(S\) とするとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) \({\small (2)}~\)\(S=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\,}{\,\fbox{カ}\,}\)
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
48 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\)
\({\small (2)}~\)\(S=\displaystyle \frac{\,7\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
対角線 \({\rm AC}\) を引き、\(\angle {\rm ABC}=\theta\) とすると、円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) より、
\(\angle {\rm ADC}=180^\circ-\theta\)
よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&16+25-40\cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&41-40\cos \theta~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\({\rm \triangle ACD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、\(\cos (180^\circ-\theta)=-\cos \theta\) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&4^2+2^2-2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos (180^\circ-\theta)
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&16+4-16 \cdot (-\cos \theta)
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&20+16\cos \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~41-40\cos \theta&=&20+16\cos \theta
\\[3pt]~~~-40\cos \theta-16\cos \theta&=&20-41
\\[3pt]~~~-56\cos \theta&=&-21
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,56\,}
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\cos^2 \theta
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,64\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64-9\,}{\,64\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,55\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) のとき、\(\sin \theta \gt 0\) より、
\(\sin \theta=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,55\,}{\,64\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,55\,}\,}{\,8\,}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AB}=4~,~{\rm BC}=5\) とその間の角 \(\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,55\,}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm \triangle ACD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AD}=4~,~{\rm CD}=2\) とその間の角 \(180^\circ-\theta\) と \(\sin (180^\circ-\theta)=\sin \theta\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ACD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin (180^\circ-\theta)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,55\,}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,55\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,55\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,55\,}+2\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,7\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}\) となる
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