数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 49
49｜三角形の面積と角の二等分線の長さ
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\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とする。\(\angle {\rm A}=60^\circ~,~\)\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AC}=5\) であるとき、\({\rm AD}=x\) とすると、
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,x\)、\(\triangle {\rm ACD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,x\)
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}=\displaystyle \frac{\,\fbox{オカ}\,\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\,}{\,\fbox{ク}\,}\)
\({\small (3)}~\)\({\rm AD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケコ}\,\sqrt{\,\fbox{サ}\,}\,}{\,\fbox{シ}\,}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とする。\(\angle {\rm A}=60^\circ~,~\)\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AC}=5\) であるとき、\({\rm AD}=x\) とすると、
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,x\)、\(\triangle {\rm ACD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,x\)
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}=\displaystyle \frac{\,\fbox{オカ}\,\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\,}{\,\fbox{ク}\,}\)
\({\small (3)}~\)\({\rm AD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケコ}\,\sqrt{\,\fbox{サ}\,}\,}{\,\fbox{シ}\,}\)
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
49 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABD}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\,x\)、\(\triangle {\rm ACD}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\,x\)
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}=\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\)
\({\small (3)}~\)\({\rm AD}=\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,8\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\({\rm AD}=x\) とし、\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm DAC}=30^\circ\) より、
\({\rm \triangle ABD}\) の面積 \(S_1\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AD}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAD}=30^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x\end{eqnarray}\)
\({\rm \triangle ACD}\) の面積 \(S_2\) は、\(2\) 辺 \({\rm AD}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm DAC}=30^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}x\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAC}=60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(S_1+S_2=S\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,4\,}x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AD}=\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,8\,}\) となる
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