数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）｜問題一覧 ＞ 問題解説 45
45｜正弦・余弦の等式と三角形の形状
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\(\triangle {\rm ABC}\) において、次の等式が成り立つとき、それぞれどのような三角形か。
\({\small (1)}~\)\(a\sin {A}=b\sin {B}\) のとき、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(\sin {A}\cos {B}=\sin {C}\) のとき、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
選択肢：
⓪ \({A}=90^\circ\) の直角三角形
① \({C}=90^\circ\) の直角三角形
② 正三角形
③ \(a=b\) の二等辺三角形
④ \(a=c\) の二等辺三角形
\(\triangle {\rm ABC}\) において、次の等式が成り立つとき、それぞれどのような三角形か。
\({\small (1)}~\)\(a\sin {A}=b\sin {B}\) のとき、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(\sin {A}\cos {B}=\sin {C}\) のとき、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
選択肢：
⓪ \({A}=90^\circ\) の直角三角形
① \({C}=90^\circ\) の直角三角形
② 正三角形
③ \(a=b\) の二等辺三角形
④ \(a=c\) の二等辺三角形
共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）
45 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)：③ \(a=b\) の二等辺三角形
\({\small (2)}~\)\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)：⓪ \({A}=90^\circ\) の直角三角形
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の \(2\) つの角 \({A}~,~{B}\) についての正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=2R\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&2R\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,a\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2R\,}\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}&=&2R\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sin {B}\,}{\,b\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2R\,}\\[5pt]~~~\sin {B}&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
これを等式 \(a\sin {A}=b\sin {B}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot \displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}&=&b \cdot \displaystyle \frac{\,b\,}{\,2R\,}\\[5pt]~~~a^2&=&b^2\\[3pt]~~~a&=&b\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(a=b\) の二等辺三角形となる
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の \(2\) つの角 \({A}~,~{C}\) についての正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}=2R\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {C}&=&\displaystyle \frac{\,c\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
次に、\({B}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&c^2+a^2-2ca \cdot \cos {B}\\[3pt]~~~2ca\cos {B}&=&c^2+a^2-b^2\\[3pt]~~~\cos {B}&=&\displaystyle \frac{\,c^2+a^2-b^2\,}{\,2ca\,}\end{eqnarray}\)
これを等式 \(\sin {A}\cos {B}=\sin {C}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,c^2+a^2-b^2\,}{\,2ca\,}&=&\displaystyle \frac{\,c\,}{\,2R\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,c^2+a^2-b^2\,}{\,2c\,}&=&c\\[5pt]~~~c^2+a^2-b^2&=&2c^2\\[3pt]~~~a^2&=&2c^2-c^2+b^2\\[3pt]~~~a^2&=&b^2+c^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は \({A}=90^\circ\) の直角三角形となる
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