数学Ⅱ｜三角関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 60
60｜加法定理と2倍角の公式を用いた三角関数の値
60
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\alpha\) は第2象限の角、\(\beta\) は第1象限の角で、
\(\sin\alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\)\(\cos\beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) とするとき、
\(\sin\left(\,\alpha-\beta\,\right)=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}+\fbox{イ}\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}\,}{\,\fbox{エオ}\,}\)
\(\cos\left(\,\alpha+\beta\,\right)=\displaystyle \frac{\,\fbox{カキ}-\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,}{\,\fbox{コサ}\,}\)
また、
\(\sin2\alpha=\displaystyle \frac{\,\fbox{シスセ}\,}{\,\fbox{ソタ}\,}~,~\)\(\cos2\alpha=\displaystyle \frac{\,\fbox{チツ}\,}{\,\fbox{テト}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\alpha~,~\)\(\beta\) はともに第1象限の角で、
\(\tan\alpha=3~,~\)\(\tan\beta=2\) とするとき、
\(\tan\left(\,\alpha+\beta\,\right)=\fbox{ナニ}\) で、\(\alpha+\beta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ヌ}\,}{\,\fbox{ネ}\,}\pi\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\alpha\) は第2象限の角、\(\beta\) は第1象限の角で、
\(\sin\alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\)\(\cos\beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) とするとき、
\(\sin\left(\,\alpha-\beta\,\right)=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}+\fbox{イ}\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}\,}{\,\fbox{エオ}\,}\)
\(\cos\left(\,\alpha+\beta\,\right)=\displaystyle \frac{\,\fbox{カキ}-\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,}{\,\fbox{コサ}\,}\)
また、
\(\sin2\alpha=\displaystyle \frac{\,\fbox{シスセ}\,}{\,\fbox{ソタ}\,}~,~\)\(\cos2\alpha=\displaystyle \frac{\,\fbox{チツ}\,}{\,\fbox{テト}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\alpha~,~\)\(\beta\) はともに第1象限の角で、
\(\tan\alpha=3~,~\)\(\tan\beta=2\) とするとき、
\(\tan\left(\,\alpha+\beta\,\right)=\fbox{ナニ}\) で、\(\alpha+\beta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ヌ}\,}{\,\fbox{ネ}\,}\pi\)
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
60 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\sin\left(\,\alpha-\beta\,\right)=\displaystyle \frac{\,8+3\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\(\cos\left(\,\alpha+\beta\,\right)=\displaystyle \frac{\,-6-4\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\(\sin2\alpha=-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}~,~\)\(\cos2\alpha=-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,25\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\tan\left(\,\alpha+\beta\,\right)=-1~,~\)\(\alpha+\beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\begin{array}{c|c|c}
& \sin & \cos \\[5pt]
\hline
~\alpha~ & \sin \alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} & {\small [\,1\,]} \\[5pt]
\hline
~\beta~ & {\small [\,2\,]} & \cos \beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{array}\)
\(\alpha\) は第2象限の角で、\(\cos \alpha \lt 0\) となる
\(\sin \alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) より、相互関係の公式を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \alpha&=&1-\sin^2 \alpha\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \alpha \lt 0\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \alpha&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\beta\) は第1象限の角で、\(\sin \beta \gt 0\) となる
\(\cos \beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) より、相互関係の公式を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \beta&=&1-\cos^2 \beta\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \beta \gt 0\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \beta&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|c|c}
& \sin & \cos \\[5pt]
\hline
~\alpha~ & \sin \alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} & \cos \alpha=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \\[5pt]
\hline
~\beta~ & \sin \beta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,} & \cos \beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{array}\)
これより、加法定理を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin(\alpha-\beta)\\[5pt]~~~&=&\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,15\,}+\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8+3\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos(\alpha+\beta)\\[5pt]~~~&=&\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-6-4\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\end{eqnarray}\)
また、2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2\alpha &=&2 \sin \alpha \cos \alpha
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2\alpha &=&\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^2-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
※ \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\) や \(\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\) を用いても良い。
したがって、
\(\sin(\alpha-\beta)=\displaystyle \frac{\,8+3\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}~,~\)\(\cos(\alpha+\beta)=\displaystyle \frac{\,-6-4\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\)
\(\sin2\alpha=-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}~,~\)\(\cos2\alpha=-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,25\,}\)
\({\small (2)}~\)\(0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~0 \lt \beta \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~0+0 &\lt& \alpha+\beta \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~0 &\lt& \alpha+\beta \lt \pi\end{eqnarray}\)
加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan(\alpha+\beta)&=&\displaystyle \frac{\,\tan \alpha+\tan \beta\,}{\,1-\tan \alpha \, \tan \beta\,}\end{eqnarray}\)
\(\tan \alpha=3~,~\tan \beta=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\tan(\alpha+\beta)}&=&\displaystyle \frac{\,3+2\,}{\,1-3 \cdot 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,1-6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,-5\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\(\tan(\alpha+\beta)=-1~,~0 \lt \alpha+\beta \lt \pi\)より、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~-1)\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の3個分と7個分であるが、
\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\) は範囲外である。
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の3個分と7個分であるが、
\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\) は範囲外である。
したがって、\(\alpha+\beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) となる
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