数学Ⅱ｜三角関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 54
54｜sinθ+cosθ=aの両辺の2乗
54
\(\theta\) が第2象限の角で \(\sin\theta+\cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\sin\theta\cos\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sin^3\theta+\cos^3\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カキ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\cos\theta-\sin\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケコ}\,}\,}{\,\fbox{サ}\,}\)
\(\theta\) が第2象限の角で \(\sin\theta+\cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\sin\theta\cos\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sin^3\theta+\cos^3\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カキ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\cos\theta-\sin\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケコ}\,}\,}{\,\fbox{サ}\,}\)
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
54 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\sin\theta\cos\theta=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sin^3\theta+\cos^3\theta=\displaystyle \frac{\,13\,}{\,27\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\cos\theta-\sin\theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,17\,}\,}{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sin\theta+\cos\theta)^2&=&\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\sin\theta\cos\theta&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+2\sin\theta\cos\theta&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~2\sin\theta\cos\theta&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}-1
\\[5pt]~~~2\sin\theta\cos\theta&=&-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~\sin\theta\cos\theta&=&-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)因数分解の公式
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin^3\theta+\cos^3\theta
\\[3pt]~~~&=&(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(\sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\)\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1~,~\)
\(\sin\theta\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\left\{1-\left(-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle\frac{\,9+4\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,13\,}{\,27\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(\theta\) は第2象限の角より、
\(\cos\theta\lt0~,~\sin\theta\gt0\)
よって \(\cos\theta-\sin\theta\lt0\)
\(\cos\theta-\sin\theta\) を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\cos\theta-\sin\theta)^2
\\[3pt]~~~&=&\cos^2\theta-2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta
\\[3pt]~~~&=&(\sin^2\theta+\cos^2\theta)-2\sin\theta\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1~,~\)\(\sin\theta\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\cos\theta-\sin\theta)^2&=&1-2\cdot\left(-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\right)
\\[5pt]~~~(\cos\theta-\sin\theta)^2&=&1+\displaystyle\frac{\,8\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~(\cos\theta-\sin\theta)^2&=&\displaystyle\frac{\,17\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos\theta-\sin\theta\lt0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\theta-\sin\theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle\frac{\,17\,}{\,9\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,17\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
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