数学Ⅱ｜三角関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 58
58｜三角関数を含む2次方程式・2次不等式
58
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(2\sin^2\theta-3\cos\theta=0\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi\)
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(2\sin^2\theta-3\cos\theta=0\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(4\sin^2\theta{\small ~≦~}1\) のとき、
\(\fbox{オ}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{シス}\,}{\,\fbox{セ}\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \fbox{ソ}\pi\)
\(\fbox{オ}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{シス}\,}{\,\fbox{セ}\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \fbox{ソ}\pi\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
58 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)相互関係の公式より、
たすき掛けの因数分解より、
\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2\cos\theta&&-1~&~-\cos\theta\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~\cos\theta&&+2~&~4\cos\theta\\[2pt]
\hline
&&&3\cos\theta
\end{array}\)
\((2\cos\theta-1)(\cos\theta+2)=0\)
ここで、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、
\(-1{\small ~≦~}\cos\theta{\small ~≦~}1\)
この範囲において、\(\cos\theta=-2\) は不適であるので、
\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~4\sin^2\theta-1&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~(2\sin\theta+1)(2\sin\theta-1)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) \(0\) 以上 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 以下
\({\small [\,2\,]}\) \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) 以上 \(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) 以下
\({\small [\,3\,]}\) \(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) 以上 \(2\pi\) 未満
したがって、
\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\)
\(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
\({\small (1)}~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\)
※ 数式は横にスクロールできます。
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~2\sin^2\theta-3\cos\theta&=&0
\\[3pt]~~~2(1-\cos^2\theta)-3\cos\theta&=&0
\\[3pt]~~~-2\cos^2\theta-3\cos\theta+2&=&0
\\[3pt]~~~2\cos^2\theta+3\cos\theta-2&=&0\end{eqnarray}\)
たすき掛けの因数分解より、
\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2\cos\theta&&-1~&~-\cos\theta\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~\cos\theta&&+2~&~4\cos\theta\\[2pt]
\hline
&&&3\cos\theta
\end{array}\)
\((2\cos\theta-1)(\cos\theta+2)=0\)
ここで、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、
\(-1{\small ~≦~}\cos\theta{\small ~≦~}1\)
この範囲において、\(\cos\theta=-2\) は不適であるので、
\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
単位円上の \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) との交点より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の2個分と10個分である。
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の2個分と10個分である。
したがって、\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)左辺を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\sin^2\theta-1&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~(2\sin\theta+1)(2\sin\theta-1)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)
\(y=(2\sin\theta+1)(2\sin\theta-1)\) のグラフの \(y{\small ~≦~} 0\) の範囲より、
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\small ~≦~}\sin\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
単位円上の \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) との交点より、動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分、5個分、7個分、11個分である。
これより、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、\(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) 以上、\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) 以下の範囲が、不等式の解となるので、
\({\small [\,1\,]}\) \(0\) 以上 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 以下
\({\small [\,2\,]}\) \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) 以上 \(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) 以下
\({\small [\,3\,]}\) \(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) 以上 \(2\pi\) 未満
したがって、
\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\)
\(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
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