数学Ⅱ｜三角関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 55
55｜三角関数のグラフと関数の選択
55
次の \({\small [\,1\,]}~,~\)\({\small [\,2\,]}\) のグラフに適する関数を、下の⓪〜⑤のうちからそれぞれ一つずつ選べ。
\({\small [\,1\,]}\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}~,~\)\({\small [\,2\,]}\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) である。
選択肢：
⓪ \(y=2\sin\theta\) \(\hspace{10pt}\)① \(y=2\cos\theta\)
② \(y=\sin2\theta\) \(\hspace{12pt}\)③ \(y=\cos2\theta\)
④ \(y=\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) \(\hspace{9pt}\)⑤ \(y=\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\)
次の \({\small [\,1\,]}~,~\)\({\small [\,2\,]}\) のグラフに適する関数を、下の⓪〜⑤のうちからそれぞれ一つずつ選べ。
\({\small [\,1\,]}\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}~,~\)\({\small [\,2\,]}\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) である。
選択肢：
⓪ \(y=2\sin\theta\) \(\hspace{10pt}\)① \(y=2\cos\theta\)
② \(y=\sin2\theta\) \(\hspace{12pt}\)③ \(y=\cos2\theta\)
④ \(y=\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) \(\hspace{9pt}\)⑤ \(y=\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\)
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
55 数学ⅡBC【解答】
\({\small [\,1\,]}~\)\(y=\sin2\theta\)（②）
\({\small [\,2\,]}~\)\(y=2\cos\theta\)（①）
【より詳しい解説】
\({\small [\,1\,]}~\)\(y=\sin 2\theta\) について、
\(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(2\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの、\(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~2\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \div \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) までの \(\pi\)
これは \({\small [\,1\,]}\) のグラフと一致するので、
\({\small [\,1\,]}\) のグラフは ② \(y=\sin2\theta\)
\({\small [\,2\,]}~\)\(y=2\cos\theta\) について、
\(\cos \theta\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(\theta=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の \(\cos \theta\) の値と \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~\cos\theta~ & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~\cos\theta~ & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=2\) となる \(0\) から \(2\pi\) までの \(2\pi\)
これは \({\small [\,2\,]}\) のグラフと一致するので、
\({\small [\,2\,]}\) のグラフは ① \(y=2\cos\theta\)
三角関数｜問題一覧はこちら→
