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56｜三角関数y=sin(aθ+b)のグラフ
56
関数 \(y=\sin\left(2\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)この関数は \(y=\sin\,\fbox{ア}\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{イ}\,}\right)\) と変形できる。
\({\small (2)}~\)このグラフは、\(y=\sin\fbox{ウ}\,\theta\) のグラフを \(\theta\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\pi\) だけ平行移動したものである。
\({\small (3)}~\)この関数の周期は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)、最大値は \(\fbox{ク}\)、最小値は \(\fbox{ケコ}\) である。
選択肢：⓪ \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) ① \(\pi\) ② \(2\pi\) ③ \(4\pi\)
関数 \(y=\sin\left(2\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)この関数は \(y=\sin\,\fbox{ア}\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{イ}\,}\right)\) と変形できる。
\({\small (2)}~\)このグラフは、\(y=\sin\fbox{ウ}\,\theta\) のグラフを \(\theta\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\pi\) だけ平行移動したものである。
\({\small (3)}~\)この関数の周期は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)、最大値は \(\fbox{ク}\)、最小値は \(\fbox{ケコ}\) である。
選択肢：⓪ \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) ① \(\pi\) ② \(2\pi\) ③ \(4\pi\)
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
56 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(y=\sin2\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\)
\({\small (2)}~\)\(y=\sin2\theta\) のグラフを \(\theta\) 軸方向に \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\pi\) だけ平行移動したもの
\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)（①）、最大値 \(1\)、最小値 \(-1\)
【より詳しい解説】
\(y=\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) について、\(\theta\) の係数 \(2\) でくくり出すと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,2\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin 2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~0~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~2\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \div \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
さらに、各値をそれぞれ \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) すると \(\theta\) と \(y\) の値の関係は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi\) までの \(\pi\)
※ \(y=\sin2\theta\) のグラフを \(\theta\) 軸方向に \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ平行移動したグラフとなる
さらに、\(\sin\) の値の範囲は \(-1\) 以上 \(1\) 以下であるので、
\(-1{\small ~≦~}\sin 2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right){\small ~≦~}1\)
グラフからもわかるように、
最大値 \(1\)、最小値 \(-1\)
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