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61｜2直線のなす角とtanの加法定理
61
2直線 \(y=2x-1\) と \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+2\) のなす角を \(\theta~~\left(\,0 \lt \theta \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right)\) とするとき、
\(\tan\theta=\fbox{ア}\) であり、\(\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{イ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\pi\) である。
2直線 \(y=2x-1\) と \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+2\) のなす角を \(\theta~~\left(\,0 \lt \theta \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right)\) とするとき、
\(\tan\theta=\fbox{ア}\) であり、\(\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{イ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\pi\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
61 数学ⅡBC【解答】
\(\tan\theta=1~,~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\pi\)
【より詳しい解説】
直線 \(y=2x-1\) と \(x\) 軸とのなす角を \(\alpha\) とすると、
\(\tan \alpha=2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
直線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+2\) と \(x\) 軸とのなす角を \(\beta\) とすると、
\(\tan \beta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
よって、2直線のなす角 \(\theta\) は、
\(\theta=\alpha-\beta\)
ここで、\(\tan \theta=\tan(\alpha-\beta)\) の値は加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan(\alpha-\beta)&=&\displaystyle \frac{\,\tan \alpha-\tan \beta\,}{\,1+\tan \alpha \, \tan \beta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}{\,1+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left(2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right) {\, \small \times \,} 3\,}{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right) {\, \small \times \,} 3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6-1\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}{\,1+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left(2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right) {\, \small \times \,} 3\,}{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right) {\, \small \times \,} 3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6-1\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(\tan \theta=1\) 、\(0 \lt \theta \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) より
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~1)\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の1個分と5個分であるが、
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) は範囲外である。
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の1個分と5個分であるが、
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) は範囲外である。
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
したがって、\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) となる
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