指数関数と対数関数の問題66〜80です。PDFを印刷して解くか、このページで問題を確認して解いてみましょう。解き終わったら、各問題の下の「詳しい解説はこちら→」から、解答と詳しい解説を確認できます。
目次
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
66｜指数法則の計算
66
次の計算をせよ。ただし、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) とする。
\({\small (1)}~\)\((-2)^{-3}=\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(0.2^{-2}=\fbox{エオ}\)
\({\small (3)}~\)\((a^2\,b^{-1})^3=\displaystyle \frac{\,a^{\fbox{カ}}\,}{\,b^{\fbox{キ}}\,}\)
\({\small (4)}~\)\(\sqrt[\large 3]{4}{\, \small \times \,}\sqrt[\large 3]{16}=\fbox{ク}\)
\({\small (5)}~\)\(\sqrt{\sqrt[\large 3]{64}}=\fbox{ケ}\)
\({\small (6)}~\)\(\sqrt[\large 6]{125}=\sqrt{\fbox{コ}}\)
\({\small (7)}~\)\(\sqrt[\large 3]{81}-\sqrt[\large 3]{24}=\sqrt[\fbox{サ}]{\,\fbox{シ}\,}\)
\({\small (8)}~\)\(32^{-\large \frac{2}{5}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\fbox{ス}\,}\)
\({\small (9)}~\)\(9^{\large \frac{1}{3}}{\, \small \div \,}9^{\large \frac{1}{12}} {\,\small\times\,} 9^{\large \frac{1}{4}}=9^{\large \frac{1}{\fbox{セ}}}=\fbox{ソ}\)
\({\small (10)}~\)\(\left(16^{\large \frac{1}{6}}\right)^{\large \frac{3}{4}}=16^{\large \frac{1}{\fbox{タ}}}=\sqrt{\fbox{チ}}\)
\({\small (11)}~\)\(\sqrt{\,a^3\,} {\,\small\times\,} \sqrt[\large 3]{\,a^2\,}{\, \small \div \,}\sqrt[\large 6]{\,a\,}=a^{\fbox{ツ}}\)
問題66｜詳しい解説はこちら→
次の計算をせよ。ただし、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) とする。
\({\small (1)}~\)\((-2)^{-3}=\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(0.2^{-2}=\fbox{エオ}\)
\({\small (3)}~\)\((a^2\,b^{-1})^3=\displaystyle \frac{\,a^{\fbox{カ}}\,}{\,b^{\fbox{キ}}\,}\)
\({\small (4)}~\)\(\sqrt[\large 3]{4}{\, \small \times \,}\sqrt[\large 3]{16}=\fbox{ク}\)
\({\small (5)}~\)\(\sqrt{\sqrt[\large 3]{64}}=\fbox{ケ}\)
\({\small (6)}~\)\(\sqrt[\large 6]{125}=\sqrt{\fbox{コ}}\)
\({\small (7)}~\)\(\sqrt[\large 3]{81}-\sqrt[\large 3]{24}=\sqrt[\fbox{サ}]{\,\fbox{シ}\,}\)
\({\small (8)}~\)\(32^{-\large \frac{2}{5}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\fbox{ス}\,}\)
\({\small (9)}~\)\(9^{\large \frac{1}{3}}{\, \small \div \,}9^{\large \frac{1}{12}} {\,\small\times\,} 9^{\large \frac{1}{4}}=9^{\large \frac{1}{\fbox{セ}}}=\fbox{ソ}\)
\({\small (10)}~\)\(\left(16^{\large \frac{1}{6}}\right)^{\large \frac{3}{4}}=16^{\large \frac{1}{\fbox{タ}}}=\sqrt{\fbox{チ}}\)
\({\small (11)}~\)\(\sqrt{\,a^3\,} {\,\small\times\,} \sqrt[\large 3]{\,a^2\,}{\, \small \div \,}\sqrt[\large 6]{\,a\,}=a^{\fbox{ツ}}\)
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
67｜xᵃ+x⁻ᵃとxᵃx⁻ᵃ=1を用いた計算
67
\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) のとき、次の値を求めよ。
\(x+x^{-1}=\fbox{ア}~,~\)\(x^2+x^{-2}=\fbox{イウ}~,~\)
\(x^3+x^{-3}=\fbox{エオカ}\)
問題67｜詳しい解説はこちら→
\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) のとき、次の値を求めよ。
\(x+x^{-1}=\fbox{ア}~,~\)\(x^2+x^{-2}=\fbox{イウ}~,~\)
\(x^3+x^{-3}=\fbox{エオカ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
68｜指数関数を含む方程式・不等式
68
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(2^{x+1}=8\) の解は、\(x=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\(9^x{\small ~≦~}27\) の解は、\(x\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\,\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{x} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) の解は、\(x\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\,\fbox{カ}\) である。
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)・\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) の選択肢：
⓪ \(\lt\) ① \({\small ≦}\) ② \(\gt\) ③ \({\small ≧}\)
問題68｜詳しい解説はこちら→
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(2^{x+1}=8\) の解は、\(x=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\(9^x{\small ~≦~}27\) の解は、\(x\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\,\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{x} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) の解は、\(x\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\,\fbox{カ}\) である。
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)・\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) の選択肢：
⓪ \(\lt\) ① \({\small ≦}\) ② \(\gt\) ③ \({\small ≧}\)
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
69｜指数関数を含む2次方程式・2次不等式
69
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(4^x+2^{x+1}-8=0\) は、\(2^x=t\) とおくと、
\(t^2+\fbox{ア}\,t-\fbox{イ}=0\) と表されるから、
\(t=\fbox{ウ}\) であり、\(x=\fbox{エ}\) である。
\({\small (2)}~\)\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{2x-1}-4\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{x}+1 \lt 0\) は、
\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{x}=t\) とおくと、
\(\fbox{オ}\,t^2-\fbox{カ}\,t+\fbox{キ} \lt 0\) と表されるから、
\(t\) の値の範囲は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,} \lt t \lt \fbox{コ}\) であり、
\(x\) の値の範囲は \(\fbox{サ} \lt x \lt \fbox{シ}\) である。
問題69｜詳しい解説はこちら→
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(4^x+2^{x+1}-8=0\) は、\(2^x=t\) とおくと、
\(t^2+\fbox{ア}\,t-\fbox{イ}=0\) と表されるから、
\(t=\fbox{ウ}\) であり、\(x=\fbox{エ}\) である。
\({\small (2)}~\)\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{2x-1}-4\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{x}+1 \lt 0\) は、
\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{x}=t\) とおくと、
\(\fbox{オ}\,t^2-\fbox{カ}\,t+\fbox{キ} \lt 0\) と表されるから、
\(t\) の値の範囲は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,} \lt t \lt \fbox{コ}\) であり、
\(x\) の値の範囲は \(\fbox{サ} \lt x \lt \fbox{シ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
70｜指数関数を含む関数の最大値・最小値
70
\(x{\small ~≦~}2\) のとき、関数 \(y=4^x-2^{x+1}\) は、
\(2^x=t\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t\) と表される。
また、\(\fbox{イ} \lt t{\small ~≦~}\fbox{ウ}\) であるから、\(y\) は
\(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最大値 \(\fbox{カ}\) 、
\(t=\fbox{キ}\) すなわち \(x=\fbox{ク}\) で最小値 \(\fbox{ケコ}\)
をとる。
問題70｜詳しい解説はこちら→
\(x{\small ~≦~}2\) のとき、関数 \(y=4^x-2^{x+1}\) は、
\(2^x=t\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t\) と表される。
また、\(\fbox{イ} \lt t{\small ~≦~}\fbox{ウ}\) であるから、\(y\) は
\(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最大値 \(\fbox{カ}\) 、
\(t=\fbox{キ}\) すなわち \(x=\fbox{ク}\) で最小値 \(\fbox{ケコ}\)
をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
71｜2ˣ+2⁻ˣと4ˣ+4⁻ˣを含む関数の最小値
71
\(y=4^x+4^{-x}-2\left(\,2^x+2^{-x}\,\right)\) は、
\(t=2^x+2^{-x}\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t-\fbox{イ}\) となり、\(t{\small ~≧~}\fbox{ウ}\) であるから、
\(y\) は \(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最小値 \(\fbox{カキ}\) をとる。
問題71｜詳しい解説はこちら→
\(y=4^x+4^{-x}-2\left(\,2^x+2^{-x}\,\right)\) は、
\(t=2^x+2^{-x}\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t-\fbox{イ}\) となり、\(t{\small ~≧~}\fbox{ウ}\) であるから、
\(y\) は \(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最小値 \(\fbox{カキ}\) をとる。
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72｜対数の計算
72
次の計算をせよ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}0.01=\fbox{アイ}\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{4}2=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{10}4+2\log_{10}5=\fbox{オ}\)
\({\small (4)}~\)\(\log_{3}24-3\log_{3}2=\fbox{カ}\)
\({\small (5)}~\)\(\log_{2}3 \cdot \log_{3}5 \cdot \log_{5}8=\fbox{キ}\)
\({\small (6)}~\)\(\log_{3}6-\log_{9}4=\fbox{ク}\)
\({\small (7)}~\)\((\log_{3}2+\log_{9}4)(\log_{2}3+\log_{4}3)=\fbox{ケ}\)
問題72｜詳しい解説はこちら→
次の計算をせよ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}0.01=\fbox{アイ}\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{4}2=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{10}4+2\log_{10}5=\fbox{オ}\)
\({\small (4)}~\)\(\log_{3}24-3\log_{3}2=\fbox{カ}\)
\({\small (5)}~\)\(\log_{2}3 \cdot \log_{3}5 \cdot \log_{5}8=\fbox{キ}\)
\({\small (6)}~\)\(\log_{3}6-\log_{9}4=\fbox{ク}\)
\({\small (7)}~\)\((\log_{3}2+\log_{9}4)(\log_{2}3+\log_{4}3)=\fbox{ケ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
73｜対数の式を文字で表す
73
\(\log_{10}2=a~,~\log_{10}3=b\) のとき、次の値を \(a~,~b\) を用いて表せ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}72=\fbox{ア}\,a+\fbox{イ}\,b\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{10}5=\fbox{ウ}-a\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{12}27=\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,b\,}{\,\fbox{オ}\,a+b\,}\)
問題73｜詳しい解説はこちら→
\(\log_{10}2=a~,~\log_{10}3=b\) のとき、次の値を \(a~,~b\) を用いて表せ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}72=\fbox{ア}\,a+\fbox{イ}\,b\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{10}5=\fbox{ウ}-a\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{12}27=\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,b\,}{\,\fbox{オ}\,a+b\,}\)
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
74｜指数関数と対数関数のグラフ
74
次の \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ }\) 内に適する番号を入れよ。
\({\small (1)}~\)\(y=2^x\) と \(y=2^{-x}\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)。
\({\small (2)}~\)\(y=2^{-x}\) と \(y=\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{x}\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)。
\({\small (3)}~\)\(y=\log_{2}x\) と \(y=\log_{\large \frac{1}{2}}x\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)。
\({\small (4)}~\)\(y=\log_{2}x\) と \(y=2^x\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)。
選択肢：
⓪ 同一のものである
① \(x\) 軸に関して対称である
② \(y\) 軸に関して対称である
③ 原点に関して対称である
④ 直線 \(y=x\) に関して対称である
問題74｜詳しい解説はこちら→
次の \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ }\) 内に適する番号を入れよ。
\({\small (1)}~\)\(y=2^x\) と \(y=2^{-x}\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)。
\({\small (2)}~\)\(y=2^{-x}\) と \(y=\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{x}\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)。
\({\small (3)}~\)\(y=\log_{2}x\) と \(y=\log_{\large \frac{1}{2}}x\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)。
\({\small (4)}~\)\(y=\log_{2}x\) と \(y=2^x\) のグラフは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)。
選択肢：
⓪ 同一のものである
① \(x\) 軸に関して対称である
② \(y\) 軸に関して対称である
③ 原点に関して対称である
④ 直線 \(y=x\) に関して対称である
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
75｜指数関数・対数関数の大小比較
75
次の各組の数の大小を比較して、小さい順に並べよ。
\({\small (1)}~\)⓪ \(1\) ① \(2\) ② \(\sqrt[3]{\,4\,}\) ③ \(\sqrt[5]{\,8\,}\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
\({\small (2)}~\)⓪ \(\sqrt{\,2\,}\) ① \(\sqrt[3]{\,3\,}\) ② \(\sqrt[6]{\,7\,}\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)
\({\small (3)}~\)⓪ \(1\) ① \(\log_{2}3\) ② \(\log_{4}25\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ}\)
\({\small (4)}~\)⓪ \(\log_{\large \frac{1}{2}}3\) ① \(\log_{\large \frac{1}{2}}5\) ② \(\log_{\large \frac{1}{2}}7\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{サ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{シ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ス}\)
問題75｜詳しい解説はこちら→
次の各組の数の大小を比較して、小さい順に並べよ。
\({\small (1)}~\)⓪ \(1\) ① \(2\) ② \(\sqrt[3]{\,4\,}\) ③ \(\sqrt[5]{\,8\,}\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
\({\small (2)}~\)⓪ \(\sqrt{\,2\,}\) ① \(\sqrt[3]{\,3\,}\) ② \(\sqrt[6]{\,7\,}\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)
\({\small (3)}~\)⓪ \(1\) ① \(\log_{2}3\) ② \(\log_{4}25\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ}\)
\({\small (4)}~\)⓪ \(\log_{\large \frac{1}{2}}3\) ① \(\log_{\large \frac{1}{2}}5\) ② \(\log_{\large \frac{1}{2}}7\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{サ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{シ} \lt \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ス}\)
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76｜対数関数を含む方程式・不等式
76
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\log_{2}(x-1)=3\) の解は、\(x=\fbox{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{\large \frac{1}{2}}x \gt -1\) の解は、\(\fbox{イ} \lt x \lt \fbox{ウ}\)
問題76｜詳しい解説はこちら→
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\log_{2}(x-1)=3\) の解は、\(x=\fbox{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{\large \frac{1}{2}}x \gt -1\) の解は、\(\fbox{イ} \lt x \lt \fbox{ウ}\)
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77｜2つの対数関数を含む方程式・不等式
77
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\log_{2}x+\log_{2}(x-1)=1\) の解は、
\(x=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\(2\log_{2}x \lt \log_{2}(x+6)\) の解は、
\(\fbox{イ} \lt x \lt \fbox{ウ}\) である。
問題77｜詳しい解説はこちら→
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\log_{2}x+\log_{2}(x-1)=1\) の解は、
\(x=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\(2\log_{2}x \lt \log_{2}(x+6)\) の解は、
\(\fbox{イ} \lt x \lt \fbox{ウ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
78｜対数関数を含む2次方程式
78
方程式 \((\log_{2}x)^2-\log_{2}4x=0\) は、
\(\log_{2}x=t\) とおくと、\(t^2-t-\fbox{ア}=0\) と表されるから、
\(t=\fbox{イウ}~,~\fbox{エ}\) であり、\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}~,~\fbox{キ}\) である。
問題78｜詳しい解説はこちら→
方程式 \((\log_{2}x)^2-\log_{2}4x=0\) は、
\(\log_{2}x=t\) とおくと、\(t^2-t-\fbox{ア}=0\) と表されるから、
\(t=\fbox{イウ}~,~\fbox{エ}\) であり、\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}~,~\fbox{キ}\) である。
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79｜対数関数を含む関数の最大値・最小値
79
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) のとき、
関数 \(y=(\log_{2}x)^2-4\log_{2}x\) は、\(\log_{2}x=t\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t\) と表される。
また、\(\fbox{イ}{\small ~≦~}t{\small ~≦~}\fbox{ウ}\) であるから、\(y\) は
\(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最大値 \(\fbox{カ}\) 、
\(t=\fbox{キ}\) すなわち \(x=\fbox{ク}\) で最小値 \(\fbox{ケコ}\)
をとる。
問題79｜詳しい解説はこちら→
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) のとき、
関数 \(y=(\log_{2}x)^2-4\log_{2}x\) は、\(\log_{2}x=t\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t\) と表される。
また、\(\fbox{イ}{\small ~≦~}t{\small ~≦~}\fbox{ウ}\) であるから、\(y\) は
\(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最大値 \(\fbox{カ}\) 、
\(t=\fbox{キ}\) すなわち \(x=\fbox{ク}\) で最小値 \(\fbox{ケコ}\)
をとる。
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80｜常用対数と累乗の桁数・小数第何位
80
\(\log_{10}2=0.3010\) とする。
\({\small (1)}~\)\(2^{31}\) は \(\fbox{アイ}\) 桁の整数である。
\({\small (2)}~\)\(2^{-20}\) は小数第 \(\fbox{ウ}\) 位で初めて \(0\) でない数字が現れる。
問題80｜詳しい解説はこちら→
\(\log_{10}2=0.3010\) とする。
\({\small (1)}~\)\(2^{31}\) は \(\fbox{アイ}\) 桁の整数である。
\({\small (2)}~\)\(2^{-20}\) は小数第 \(\fbox{ウ}\) 位で初めて \(0\) でない数字が現れる。
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