数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 66
66｜指数法則の計算
次の計算をせよ。ただし、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) とする。
\({\small (1)}~\)\((-2)^{-3}=\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(0.2^{-2}=\fbox{エオ}\)
\({\small (3)}~\)\((a^2\,b^{-1})^3=\displaystyle \frac{\,a^{\fbox{カ}}\,}{\,b^{\fbox{キ}}\,}\)
\({\small (4)}~\)\(\sqrt[\large 3]{4}{\, \small \times \,}\sqrt[\large 3]{16}=\fbox{ク}\)
\({\small (5)}~\)\(\sqrt{\sqrt[\large 3]{64}}=\fbox{ケ}\)
\({\small (6)}~\)\(\sqrt[\large 6]{125}=\sqrt{\fbox{コ}}\)
\({\small (7)}~\)\(\sqrt[\large 3]{81}-\sqrt[\large 3]{24}=\sqrt[\fbox{サ}]{\,\fbox{シ}\,}\)
\({\small (8)}~\)\(32^{-\large \frac{2}{5}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\fbox{ス}\,}\)
\({\small (9)}~\)\(9^{\large \frac{1}{3}}{\, \small \div \,}9^{\large \frac{1}{12}} {\,\small\times\,} 9^{\large \frac{1}{4}}=9^{\large \frac{1}{\fbox{セ}}}=\fbox{ソ}\)
\({\small (10)}~\)\(\left(16^{\large \frac{1}{6}}\right)^{\large \frac{3}{4}}=16^{\large \frac{1}{\fbox{タ}}}=\sqrt{\fbox{チ}}\)
\({\small (11)}~\)\(\sqrt{\,a^3\,} {\,\small\times\,} \sqrt[\large 3]{\,a^2\,}{\, \small \div \,}\sqrt[\large 6]{\,a\,}=a^{\fbox{ツ}}\)
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
66 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\)
\({\small (2)}~\)\(25\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,a^6\,}{\,b^3\,}\)
\({\small (4)}~\)\(4\)
\({\small (5)}~\)\(2\)
\({\small (6)}~\)\(\sqrt{\,5\,}\)
\({\small (7)}~\)\(\sqrt[\large 3]{3}\)
\({\small (8)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
\({\small (9)}~\)\(9^{\large \frac{1}{2}}=3\)
\({\small (10)}~\)\(16^{\large \frac{1}{8}}=\sqrt{\,2\,}\)
\({\small (11)}~\)\(a^2\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(a^{-n}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^n\,}\) より、\(-n\) 乗は分数で表すことができるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(-2)^{-3}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(-2)^3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,-8\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(0.2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\) として、分数の \(-n\) 乗は逆数の \(n\) 乗とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~0.2^{-2}&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^{-2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,1\,}\right)^{2}
\\[5pt]~~~&=&5^2
\\[3pt]~~~&=&25\end{eqnarray}\)
※ \(\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\right)^{-n}=\left(\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)^n\) を用いる。
\({\small (3)}~\)指数法則より、それぞれの累乗となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(a^2\,b^{-1})^3&=&a^{2 {\small \times} 3}\,b^{-1 {\small \times} 3}
\\[3pt]~~~&=&a^6\,b^{-3}
\\[5pt]~~~&=&a^6 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,b^3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^6\,}{\,b^3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\)\(3\) 乗根の中の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[\large 3]{4}{\, \small \times \,}\sqrt[\large 3]{16}&=&\sqrt[\large 3]{4{\, \small \times \,}16}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 3]{4{\, \small \times \,}4^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 3]{4^3}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
※ \(3\) 乗根の中を \(2^6\) としてもよいが、\(3\) 乗根を外すために、中を \(3\) 乗の形の \(4^3\) とする。
\({\small (5)}~\)\(3\) 乗根の平方根より、積となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\sqrt[\large 3]{64}}&=&\sqrt{\sqrt[\large 3]{2^6}}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 2{\small \times}3]{2^6}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 6]{2^6}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small (6)}~\)\(6\) 乗根を \(3\) 乗根の平方根とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[\large 6]{125}&=&\sqrt[\large 6]{5^3}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\sqrt[\large 3]{5^3}}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (7)}~\)それぞれの \(3\) 乗根の中を整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[\large 3]{81}-\sqrt[\large 3]{24}&=&\sqrt[\large 3]{3^4}-\sqrt[\large 3]{2^3{\, \small \times \,}3}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 3]{3^3{\, \small \times \,}3}-\sqrt[\large 3]{2^3{\, \small \times \,}3}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 3]{3^3}\cdot\sqrt[\large 3]{3}-\sqrt[\large 3]{2^3}\cdot\sqrt[\large 3]{3}
\\[3pt]~~~&=&3\sqrt[\large 3]{3}-2\sqrt[\large 3]{3}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 3]{3}\end{eqnarray}\)
※ \(3\) 乗根を外したいので、\(\sqrt[\large 3]{3^4}=\sqrt[\large 3]{3^3\cdot3}=\sqrt[\large 3]{3^3}\cdot\sqrt[\large 3]{3}\) と分ける。
\({\small (8)}~\)\(32=2^5\) として、指数法則を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~32^{-\large \frac{2}{5}}&=&(2^5)^{-\large \frac{2}{5}}
\\[5pt]~~~&=&2^{5{\, \small \times \,}\left(-\large \frac{2}{5}\right)}
\\[5pt]~~~&=&2^{-2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (9)}~\)指数法則を用いて、指数部分を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&9^{\large \frac{1}{3}}{\, \small \div \,}9^{\large \frac{1}{12}} {\,\small\times\,} 9^{\large \frac{1}{4}}
\\[3pt]~~~&=&9^{\large \frac{1}{3}-\frac{1}{12}+\frac{1}{4}}
\\[3pt]~~~&=&9^{\large \frac{4-1+3}{12}}
\\[3pt]~~~&=&9^{\large \frac{6}{12}}
\\[3pt]~~~&=&9^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&(3^2)^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small (10)}~\)指数法則を用いて、指数部分を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(16^{\large \frac{1}{6}}\right)^{\large \frac{3}{4}}
\\[3pt]~~~&=&16^{\large \frac{1}{6} {\,\small\times\,} \frac{3}{4}}
\\[3pt]~~~&=&16^{\large \frac{1}{8}}
\\[3pt]~~~&=&(2^4)^{\large \frac{1}{8}}
\\[3pt]~~~&=&2^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (11)}~\)累乗根を有理数の指数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,a^3\,} {\,\small\times\,} \sqrt[\large 3]{\,a^2\,}{\, \small \div \,}\sqrt[\large 6]{\,a\,}
\\[3pt]~~~&=&a^{\large \frac{3}{2}} {\,\small\times\,} a^{\large \frac{2}{3}}{\, \small \div \,}a^{\large \frac{1}{6}}\end{eqnarray}\)
指数法則を用いて、指数部分を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^{\large \frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}
\\[3pt]~~~&=&a^{\large \frac{9+4-1}{6}}
\\[3pt]~~~&=&a^{\large \frac{12}{6}}
\\[3pt]~~~&=&a^2\end{eqnarray}\)
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