数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 77
77｜2つの対数関数を含む方程式・不等式
77
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\log_{2}x+\log_{2}(x-1)=1\) の解は、
\(x=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\(2\log_{2}x \lt \log_{2}(x+6)\) の解は、
\(\fbox{イ} \lt x \lt \fbox{ウ}\) である。
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\log_{2}x+\log_{2}(x-1)=1\) の解は、
\(x=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\(2\log_{2}x \lt \log_{2}(x+6)\) の解は、
\(\fbox{イ} \lt x \lt \fbox{ウ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
77 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(x=2\)
\({\small (2)}~\)\(0 \lt x \lt 3\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)それぞれの真数条件より、
\(x \gt 0\) かつ \(x-1 \gt 0\)
\(x-1 \gt 0~\Leftrightarrow ~ x \gt 1\)
よって、\(x \gt 1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
両辺を底 \(2\) の対数で表すと、
※ 左辺は対数の和なので真数の積、右辺は \(1=\log_{2}2\)。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}x+\log_{2}(x-1)&=&1
\\[3pt]~~~\log_{2}x(x-1)&=&\log_{2}2\end{eqnarray}\)
真数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-1)&=&2
\\[3pt]~~~x^2-x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x-2)&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x=-1~,~2\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(x \gt 1\) であるので \(x=-1\) は不適
したがって、\(x=2\) となる
\({\small (2)}~\)それぞれの真数条件より、
\(x \gt 0\) かつ \(x+6 \gt 0\)
\(x+6 \gt 0~\Leftrightarrow ~ x \gt -6\)
よって、\(x \gt 0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
不等式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2\log_{2}x &\lt& \log_{2}(x+6)
\\[3pt]~~~\log_{2}x^2 &\lt& \log_{2}(x+6)\end{eqnarray}\)
底が \(1\) より大きいので、真数の大小関係はそのまま
\(\begin{eqnarray}~~~x^2 &\lt& x+6
\\[3pt]~~~x^2-x-6 &\lt& 0
\\[3pt]~~~(x-3)(x+2) &\lt& 0\end{eqnarray}\)
\(0\) より小さい範囲は、
\(-2 \lt x \lt 3\)
よって、この不等式の解は、
\(-2 \lt x \lt 3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の共通の範囲より、
\(0 \lt x \lt 3\) となる
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