数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 78
78｜対数関数を含む2次方程式
78
方程式 \((\log_{2}x)^2-\log_{2}4x=0\) は、
\(\log_{2}x=t\) とおくと、\(t^2-t-\fbox{ア}=0\) と表されるから、
\(t=\fbox{イウ}~,~\fbox{エ}\) であり、\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}~,~\fbox{キ}\) である。
方程式 \((\log_{2}x)^2-\log_{2}4x=0\) は、
\(\log_{2}x=t\) とおくと、\(t^2-t-\fbox{ア}=0\) と表されるから、
\(t=\fbox{イウ}~,~\fbox{エ}\) であり、\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}~,~\fbox{キ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
78 数学ⅡBC【解答】
\(t^2-t-2=0\)
\(t=-1~,~2~,~x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~4\)
【より詳しい解説】
\((\log_2 x)^2-\log_2 4x=0\) について、
それぞれの真数条件より、
\(x \gt 0\) かつ \(4x \gt 0\)
よって、\(x \gt 0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
方程式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\log_2 x)^2-\log_2 4x&=&0
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2-\log_2 (x{\, \small \times \,}4)&=&0
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2-(\log_2 x+\log_2 4)&=&0
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2-\log_2 x-\log_2 2^2&=&0
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2-\log_2 x-2&=&0\end{eqnarray}\)
\(\log_2 x=t\) とおき、\(t\) の2次方程式を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2-t-2&=&0
\\[3pt]~~~(t-2)(t+1)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)
\(t=-1\) のとき、\(t=\log_2 x\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 x&=&-1
\\[3pt]~~~x&=&2^{-1}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(t=2\) のとき、\(t=\log_2 x\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 x&=&2
\\[3pt]~~~x&=&2^2
\\[3pt]~~~x&=&4\end{eqnarray}\)
どちらも \({\small [\,1\,]}\) を満たす
したがって、
この方程式の解は \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~4\) となる
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