数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 80
80｜常用対数と累乗の桁数・小数第何位
80
\(\log_{10}2=0.3010\) とする。
\({\small (1)}~\)\(2^{31}\) は \(\fbox{アイ}\) 桁の整数である。
\({\small (2)}~\)\(2^{-20}\) は小数第 \(\fbox{ウ}\) 位で初めて \(0\) でない数字が現れる。
\(\log_{10}2=0.3010\) とする。
\({\small (1)}~\)\(2^{31}\) は \(\fbox{アイ}\) 桁の整数である。
\({\small (2)}~\)\(2^{-20}\) は小数第 \(\fbox{ウ}\) 位で初めて \(0\) でない数字が現れる。
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
80 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(10\) 桁
\({\small (2)}~\)小数第 \(7\) 位
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(2^{31}\) の常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_{10}2^{31}
\\[3pt]~~~&=&31\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&31{\, \small \times \,}0.3010
\\[3pt]~~~&=&9.331\end{eqnarray}\)
よって、この値を \(2\) つの整数で挟むと、
\(9 \lt \log_{10}2^{31} \lt 10\)
さらに、\(9\) と \(10\) を常用対数で表すと、
\(\log_{10}10^9 \lt \log_{10}2^{31} \lt \log_{10}10^{10}\)
これより、真数を比較すると、
底が \(10\) で \(1\) より大きいので、大小関係はそのままで、
\(10^9 \lt 2^{31} \lt 10^{10}\)
\(10^9\) は \(10\) 桁の整数で、
\(10^{10}\) は \(11\) 桁の整数であるから、
したがって、\(2^{31}\) は \(10\) 桁の整数である
\({\small (2)}~\)\(2^{-20}\) の常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_{10}2^{-20}
\\[3pt]~~~&=&-20\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&-20{\, \small \times \,}0.3010
\\[3pt]~~~&=&-6.02\end{eqnarray}\)
よって、この値を \(2\) つの整数で挟むと、
\(-7 \lt \log_{10}2^{-20} \lt -6\)
さらに、\(-7\) と \(-6\) を常用対数で表すと、
\(\log_{10}10^{-7} \lt \log_{10}2^{-20} \lt \log_{10}10^{-6}\)
これより、真数を比較すると、
底が \(10\) で \(1\) より大きいので、大小関係はそのままで、
\(10^{-7} \lt 2^{-20} \lt 10^{-6}\)
\(10^{-7}=0.0000001\) は小数第 \(7\) 位で、
\(10^{-6}=0.000001\) は小数第 \(6\) 位で
初めて \(0\) でない数字が現れるので、
したがって、
\(2^{-20}\) は小数第 \(7\) 位で初めて \(0\) でない数字が現れる
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