数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 70
70｜指数関数を含む関数の最大値・最小値
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\(x{\small ~≦~}2\) のとき、関数 \(y=4^x-2^{x+1}\) は、
\(2^x=t\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t\) と表される。
また、\(\fbox{イ} \lt t{\small ~≦~}\fbox{ウ}\) であるから、\(y\) は
\(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最大値 \(\fbox{カ}\) 、
\(t=\fbox{キ}\) すなわち \(x=\fbox{ク}\) で最小値 \(\fbox{ケコ}\)
をとる。
\(x{\small ~≦~}2\) のとき、関数 \(y=4^x-2^{x+1}\) は、
\(2^x=t\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t\) と表される。
また、\(\fbox{イ} \lt t{\small ~≦~}\fbox{ウ}\) であるから、\(y\) は
\(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最大値 \(\fbox{カ}\) 、
\(t=\fbox{キ}\) すなわち \(x=\fbox{ク}\) で最小値 \(\fbox{ケコ}\)
をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
70 数学ⅡBC【解答】
\(y=t^2-2t~,~0 \lt t{\small ~≦~}4\)
\(t=4\) すなわち \(x=2\) で最大値 \(8\)
\(t=1\) すなわち \(x=0\) で最小値 \(-1\)
【より詳しい解説】
式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&4^x-2^{x+1}
\\[3pt]~~~&=&(2^2)^x-2^x \cdot 2^1
\\[3pt]~~~&=&(2^x)^2-2 \cdot 2^x\end{eqnarray}\)
\(2^x=t\) とおくと、
\(2^x \gt 0\) より、\(t \gt 0\)
また、\(x{\small ~≦~}2\) より
\(2^x{\small ~≦~}2^2~\Leftrightarrow ~t{\small ~≦~}4\)
よって、
\(0 \lt t{\small ~≦~}4\)
\(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&t^2-2t
\\[3pt]~~~&=&(t^2-2t+1)-1
\\[3pt]~~~&=&(t-1)^2-1\end{eqnarray}\)
\(0 \lt t{\small ~≦~}4\) の範囲で、頂点 \((1~,~-1)\) の下に凸のグラフより、
\(t=4\) のときに最大値をとり、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&4^2-2 \cdot 4
\\[3pt]~~~&=&16-8
\\[3pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
このときの \(x\) の値は
\(\begin{eqnarray}~~~2^x&=&4
\\[3pt]~~~2^x&=&2^2
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
また、\(t=1\) のとき頂点の \(y\) 座標 \(-1\) が最小値となり、
このときの \(x\) の値は
\(\begin{eqnarray}~~~2^x&=&1
\\[3pt]~~~2^x&=&2^0
\\[3pt]~~~x&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=2\) のとき最大値 \(8\)
\(x=0\) のとき最小値 \(-1\) となる
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