微分と積分の問題81〜98です。PDFを印刷して解くか、このページで問題を確認して解いてみましょう。解き終わったら、各問題の下の「詳しい解説はこちら→」から、解答と詳しい解説を確認できます。
目次
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
81｜平均変化率と微分係数の定義
81
関数 \(f(x)=x^2\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x\) が \(2\) から \(5\) まで変化するときの平均変化率は、
\(\displaystyle \frac{\,f(\fbox{ア})-f(\fbox{イ})\,}{\,\fbox{ウ}-\fbox{エ}\,}=\fbox{オ}\)
\({\small (2)}~\)\(x=3\) における微分係数 \(f^{\prime}(3)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\,f(\fbox{カ}+h)-f(\fbox{キ})\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}(h+\fbox{ク})=\fbox{ケ}
\end{eqnarray}\)
問題81｜詳しい解説はこちら→
関数 \(f(x)=x^2\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x\) が \(2\) から \(5\) まで変化するときの平均変化率は、
\(\displaystyle \frac{\,f(\fbox{ア})-f(\fbox{イ})\,}{\,\fbox{ウ}-\fbox{エ}\,}=\fbox{オ}\)
\({\small (2)}~\)\(x=3\) における微分係数 \(f^{\prime}(3)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\,f(\fbox{カ}+h)-f(\fbox{キ})\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}(h+\fbox{ク})=\fbox{ケ}
\end{eqnarray}\)
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
82｜導関数の定義と微分の計算
82
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)関数 \(f(x)=x^3\) の導関数は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\,f\left(\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\,\right)-f\left(\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\,\right)\,}{\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left(\,\fbox{エ}\,x^2+\fbox{オ}\,xh+h^2\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\fbox{カ}\,x^{\fbox{キ}}\end{eqnarray}\)
選択肢：⓪ \(x\) ① \(h\) ② \(x+h\)
③ \(x-h\) ④ \(x^2\)
\({\small (2)}~\)次の関数を微分せよ。
\(f(x)=x^3-3x^2+5x-1\) のとき、
\(f^{\prime}(x)=\fbox{ク}\,x^2-\fbox{ケ}\,x+\fbox{コ}\)
\(f(x)=(x-1)(x+3)\) のとき、
\(f^{\prime}(x)=\fbox{サ}\,x+\fbox{シ}\)
問題82｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)関数 \(f(x)=x^3\) の導関数は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\,f\left(\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\,\right)-f\left(\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\,\right)\,}{\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left(\,\fbox{エ}\,x^2+\fbox{オ}\,xh+h^2\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\fbox{カ}\,x^{\fbox{キ}}\end{eqnarray}\)
選択肢：⓪ \(x\) ① \(h\) ② \(x+h\)
③ \(x-h\) ④ \(x^2\)
\({\small (2)}~\)次の関数を微分せよ。
\(f(x)=x^3-3x^2+5x-1\) のとき、
\(f^{\prime}(x)=\fbox{ク}\,x^2-\fbox{ケ}\,x+\fbox{コ}\)
\(f(x)=(x-1)(x+3)\) のとき、
\(f^{\prime}(x)=\fbox{サ}\,x+\fbox{シ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
83｜微分係数の値と関数の決定
83
2次関数 \(f(x)\) が \(f(1)=0~,~\)\(f^{\prime}(1)=1~,~\)\(f^{\prime}(0)=-3\) を満たすとき、
\(f(x)=\fbox{ア}\,x^2-\fbox{イ}\,x+\fbox{ウ}\)
\(f^{\prime}(2)=\fbox{エ}\)
問題83｜詳しい解説はこちら→
2次関数 \(f(x)\) が \(f(1)=0~,~\)\(f^{\prime}(1)=1~,~\)\(f^{\prime}(0)=-3\) を満たすとき、
\(f(x)=\fbox{ア}\,x^2-\fbox{イ}\,x+\fbox{ウ}\)
\(f^{\prime}(2)=\fbox{エ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
84｜曲線の接線の方程式
84
曲線 \(y=x^2\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)点 \((2~,~4)\) における接線の傾きは \(\fbox{ア}\) であり、接線の方程式は \(y=\fbox{イ}\,x-\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)傾き \(-2\) の接線の接点は \(\left(\fbox{エオ}~,~\fbox{カ}\,\right)\) であり、接線の方程式は \(y=\fbox{キク}\,x-\fbox{ケ}\) である。
問題84｜詳しい解説はこちら→
曲線 \(y=x^2\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)点 \((2~,~4)\) における接線の傾きは \(\fbox{ア}\) であり、接線の方程式は \(y=\fbox{イ}\,x-\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)傾き \(-2\) の接線の接点は \(\left(\fbox{エオ}~,~\fbox{カ}\,\right)\) であり、接線の方程式は \(y=\fbox{キク}\,x-\fbox{ケ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
85｜曲線外の点から引いた接線の方程式
85
曲線 \(y=x^2\) に点 \({\rm A}(2~,~-5)\) から引いた接線の方程式は、
\(y=\fbox{アイ}\,x-\fbox{ウエ}\) と
\(y=\fbox{オカ}\,x-\fbox{キ}\) である。
問題85｜詳しい解説はこちら→
曲線 \(y=x^2\) に点 \({\rm A}(2~,~-5)\) から引いた接線の方程式は、
\(y=\fbox{アイ}\,x-\fbox{ウエ}\) と
\(y=\fbox{オカ}\,x-\fbox{キ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
86｜共有点と共通接線
86
曲線 \(y=x^3+ax^2+bx\) と放物線 \(y=2x^2\) は点 \((-1~,~2)\) を共有点にもち、この点で共通な接線 \(\ell\) をもつ。
このとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イ}\) であり、\(\ell\) の方程式は \(y=\fbox{ウエ}\,x-\fbox{オ}\) である。
問題86｜詳しい解説はこちら→
曲線 \(y=x^3+ax^2+bx\) と放物線 \(y=2x^2\) は点 \((-1~,~2)\) を共有点にもち、この点で共通な接線 \(\ell\) をもつ。
このとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イ}\) であり、\(\ell\) の方程式は \(y=\fbox{ウエ}\,x-\fbox{オ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
87｜導関数と3次関数のグラフ
87
関数 \(y=x^3-3x\) の増減は、
\(x{\small ~≦~}\fbox{アイ}~,~\)\(\fbox{ウ}{\small ~≦~}x\) で単調に増加し、
\(\fbox{エオ}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\fbox{カ}\) で単調に減少する。
また、
\(x=\fbox{キク}\) で極大値 \(\fbox{ケ}\) 、
\(x=\fbox{コ}\) で極小値 \(\fbox{サシ}\) をとる。
問題87｜詳しい解説はこちら→
関数 \(y=x^3-3x\) の増減は、
\(x{\small ~≦~}\fbox{アイ}~,~\)\(\fbox{ウ}{\small ~≦~}x\) で単調に増加し、
\(\fbox{エオ}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\fbox{カ}\) で単調に減少する。
また、
\(x=\fbox{キク}\) で極大値 \(\fbox{ケ}\) 、
\(x=\fbox{コ}\) で極小値 \(\fbox{サシ}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
88｜3次関数の最大値・最小値
88
関数 \(y=x^3-3x\) \((-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) について、
\(x=\fbox{ア}\) で最大値 \(\fbox{イウ}\) 、
\(x=\fbox{エオ}~,~\fbox{カ}\) で最小値 \(\fbox{キク}\) をとる。
問題88｜詳しい解説はこちら→
関数 \(y=x^3-3x\) \((-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) について、
\(x=\fbox{ア}\) で最大値 \(\fbox{イウ}\) 、
\(x=\fbox{エオ}~,~\fbox{カ}\) で最小値 \(\fbox{キク}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
89｜極値の条件と関数の決定
89
関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) が \(x=-3\) で極大値、\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとるとき、定数 \(a~,~\)\(b~,~\)\(c\) の値は、
\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イウ}~,~\)\(c=\fbox{エ}\) であり、
\(f(x)\) の極大値は \(\fbox{オカ}\) である。
問題89｜詳しい解説はこちら→
関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) が \(x=-3\) で極大値、\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとるとき、定数 \(a~,~\)\(b~,~\)\(c\) の値は、
\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イウ}~,~\)\(c=\fbox{エ}\) であり、
\(f(x)\) の極大値は \(\fbox{オカ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
90｜3次関数が極値をもつorもたない条件
90
関数 \(f(x)=x^3+ax^2+3x\) について、
\({\small (1)}~\)\(f(x)\) が極大値と極小値をもつのは、
\(a \lt \fbox{アイ}~,~\)\(\fbox{ウ} \lt a\) のときである。
\({\small (2)}~\)\(f(x)\) が極値をもたないのは、
\(\fbox{エオ}{\small ~≦~}a{\small ~≦~}\fbox{カ}\) のときである。
問題90｜詳しい解説はこちら→
関数 \(f(x)=x^3+ax^2+3x\) について、
\({\small (1)}~\)\(f(x)\) が極大値と極小値をもつのは、
\(a \lt \fbox{アイ}~,~\)\(\fbox{ウ} \lt a\) のときである。
\({\small (2)}~\)\(f(x)\) が極値をもたないのは、
\(\fbox{エオ}{\small ~≦~}a{\small ~≦~}\fbox{カ}\) のときである。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
91｜方程式の実数解の個数と定数分離法
91
3次方程式 \(x^3-3x-a=0\) について、実数解の個数は、
\(a \lt \fbox{アイ}~,~\)\(\fbox{ウ} \lt a\) のとき \(\fbox{エ}\) 個
\(a=\fbox{オカ}~,~\fbox{キ}\) のとき \(\fbox{ク}\) 個
\(\fbox{ケコ} \lt a \lt \fbox{サ}\) のとき \(\fbox{シ}\) 個
である。
問題91｜詳しい解説はこちら→
3次方程式 \(x^3-3x-a=0\) について、実数解の個数は、
\(a \lt \fbox{アイ}~,~\)\(\fbox{ウ} \lt a\) のとき \(\fbox{エ}\) 個
\(a=\fbox{オカ}~,~\fbox{キ}\) のとき \(\fbox{ク}\) 個
\(\fbox{ケコ} \lt a \lt \fbox{サ}\) のとき \(\fbox{シ}\) 個
である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
92｜関数xⁿの不定積分
92
次の不定積分を求めよ。
問題92｜詳しい解説はこちら→
次の不定積分を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \int(3x+2)^2\,dx=\fbox{ア}\,x^3+\fbox{イ}\,x^2+\fbox{ウ}\,x+C\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \int(t-1)(t+3)\,dt=\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}t^3+t^2-\fbox{カ}\,t+C\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \int(t-1)(t+3)\,dt=\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}t^3+t^2-\fbox{カ}\,t+C\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
93｜接線の傾きと不定積分
93
曲線 \(y=f(x)\) は点 \((0~,~3)\) を通り、この曲線上の点 \((x~,~f(x))\) における接線の傾きが \(x^2-x\) で表されるとき、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}x^3-\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}x^2+\fbox{オ}\) である。
問題93｜詳しい解説はこちら→
曲線 \(y=f(x)\) は点 \((0~,~3)\) を通り、この曲線上の点 \((x~,~f(x))\) における接線の傾きが \(x^2-x\) で表されるとき、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}x^3-\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}x^2+\fbox{オ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
94｜定積分の計算
94
次の定積分を求めよ。
問題94｜詳しい解説はこちら→
次の定積分を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \int_{0}^{1}(3x^2-4x-5)\,dx=\fbox{アイ}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \int_{-1}^{1}(t-1)(t+3)\,dt=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウエオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \int_{2}^{3}(x+1)^2\,dx-\int_{2}^{3}(x-1)^2\,dx=\fbox{キク}\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx-\int_{2}^{0}(3x^2+2x)\,dx=\fbox{ケコ}\)
\({\small (5)}~\)\(\displaystyle \int_{0}^{3}|\,x^2-4\,|\,dx=\displaystyle \frac{\,\fbox{サシ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \int_{-1}^{1}(t-1)(t+3)\,dt=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウエオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \int_{2}^{3}(x+1)^2\,dx-\int_{2}^{3}(x-1)^2\,dx=\fbox{キク}\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx-\int_{2}^{0}(3x^2+2x)\,dx=\fbox{ケコ}\)
\({\small (5)}~\)\(\displaystyle \int_{0}^{3}|\,x^2-4\,|\,dx=\displaystyle \frac{\,\fbox{サシ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
95｜定積分∫f(t)dtを含む関数
95
関数 \(f(x)\) が
等式 \(\displaystyle f(x)=3x^2-2x+\int_{\,0\,}^{\,2\,}f(t)\,dt\) を満たすとき、\(\displaystyle \int_{\,0\,}^{\,2\,}f(t)\,dt=a\) とおくと、
\(a=\fbox{アイ}\) となり、
\(f(x)=\fbox{ウ}\,x^2-\fbox{エ}\,x-\fbox{オ}\) である。
問題95｜詳しい解説はこちら→
関数 \(f(x)\) が
等式 \(\displaystyle f(x)=3x^2-2x+\int_{\,0\,}^{\,2\,}f(t)\,dt\) を満たすとき、\(\displaystyle \int_{\,0\,}^{\,2\,}f(t)\,dt=a\) とおくと、
\(a=\fbox{アイ}\) となり、
\(f(x)=\fbox{ウ}\,x^2-\fbox{エ}\,x-\fbox{オ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
96｜区間にxを含む定積分と関数の決定
96
関数 \(f(x)\) と定数 \(a\) が
等式 \(\displaystyle \int_{\,a\,}^{\,x\,}f(t)\,dt=x^2+3x-10\) を満たすとき、
\(f(x)=\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) で、\(a=\fbox{ウエ}~,~\fbox{オ}\) である。
問題96｜詳しい解説はこちら→
関数 \(f(x)\) と定数 \(a\) が
等式 \(\displaystyle \int_{\,a\,}^{\,x\,}f(t)\,dt=x^2+3x-10\) を満たすとき、
\(f(x)=\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) で、\(a=\fbox{ウエ}~,~\fbox{オ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
97｜定積分と面積
97
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
\({\small (1)}~\)曲線 \(y=x^2-2x+3\) と \(x\) 軸、\(y\) 軸、直線 \(x=3\) で囲まれた図形の面積は、\(\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)曲線 \(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{イ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)曲線 \(y=x^3-4x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた2つの部分の面積の和は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カキ}\,}\) である。
\({\small (4)}~\)曲線 \(y=x^2+x-1\) と直線 \(y=2x+1\) で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\) である。
\({\small (5)}~\)2曲線 \(y=x^2+3x-7\) と \(y=-x^2+x+5\) で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{コサシ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\) である。
問題97｜詳しい解説はこちら→
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
\({\small (1)}~\)曲線 \(y=x^2-2x+3\) と \(x\) 軸、\(y\) 軸、直線 \(x=3\) で囲まれた図形の面積は、\(\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)曲線 \(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{イ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)曲線 \(y=x^3-4x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた2つの部分の面積の和は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カキ}\,}\) である。
\({\small (4)}~\)曲線 \(y=x^2+x-1\) と直線 \(y=2x+1\) で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\) である。
\({\small (5)}~\)2曲線 \(y=x^2+3x-7\) と \(y=-x^2+x+5\) で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{コサシ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
98｜放物線と2本の接線で囲まれた面積
98
放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((1~,~1)~,~\)\((-3~,~9)\) における接線の方程式は、
\(y=\fbox{ア}\,x-\fbox{イ}~,~\)\(y=\fbox{ウエ}\,x-\fbox{オ}\)
2本の接線の交点の \(x\) 座標は \(x=\fbox{カキ}\) であり、この放物線と2本の接線で囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
問題98｜詳しい解説はこちら→
放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((1~,~1)~,~\)\((-3~,~9)\) における接線の方程式は、
\(y=\fbox{ア}\,x-\fbox{イ}~,~\)\(y=\fbox{ウエ}\,x-\fbox{オ}\)
2本の接線の交点の \(x\) 座標は \(x=\fbox{カキ}\) であり、この放物線と2本の接線で囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
