数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 86
86｜共有点と共通接線
86
曲線 \(y=x^3+ax^2+bx\) と放物線 \(y=2x^2\) は点 \((-1~,~2)\) を共有点にもち、この点で共通な接線 \(\ell\) をもつ。
このとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イ}\) であり、\(\ell\) の方程式は \(y=\fbox{ウエ}\,x-\fbox{オ}\) である。
曲線 \(y=x^3+ax^2+bx\) と放物線 \(y=2x^2\) は点 \((-1~,~2)\) を共有点にもち、この点で共通な接線 \(\ell\) をもつ。
このとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イ}\) であり、\(\ell\) の方程式は \(y=\fbox{ウエ}\,x-\fbox{オ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
86 数学ⅡBC【解答】
\(a=4~,~b=1\)
\(\ell\) の方程式 \(y=-4x-2\)
【より詳しい解説】
曲線 \(y=x^3+ax^2+bx\) は点 \((-1~,~2)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~(-1)^3+a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)&=&2
\\[3pt]~~~-1+a-b&=&2
\\[3pt]~~~a-b&=&3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、それぞれの関数を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x^3+ax^2+bx)^{\prime}&=&3x^2+a \cdot 2x+b \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+b\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(2x^2)^{\prime}&=&2 \cdot 2x
\\[3pt]~~~&=&4x\end{eqnarray}\)
それぞれの関数の点 \((-1~,~2)\) での接線が等しいので、
それぞれの \(x=-1\) での接線の傾きが等しいから、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot (-1)^2+2a \cdot (-1)+b&=&4 \cdot (-1)
\\[3pt]~~~3-2a+b&=&-4
\\[3pt]~~~-2a+b&=&-7
\\[3pt]~~~2a-b&=&7~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3-2a+b&=&-4
\\[3pt]~~~-2a+b&=&-7
\\[3pt]~~~2a-b&=&7~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
2a-b&=&7 \\~~
-\big{)}~~~a-b&=&3\\
\hline a&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4-b&=&3
\\[3pt]~~~-b&=&-1
\\[3pt]~~~b&=&1\end{eqnarray}\)
次に、接線 \(\ell\) は傾き \(-4\) で点 \((-1~,~2)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~y-2&=&-4\{x-(-1)\}
\\[3pt]~~~y&=&-4(x+1)+2
\\[3pt]~~~y&=&-4x-4+2
\\[3pt]~~~y&=&-4x-2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=4~,~b=1~,~\)\(\ell\) の方程式は \(y=-4x-2\) となる
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