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83｜微分係数の値と関数の決定
83
2次関数 \(f(x)\) が \(f(1)=0~,~\)\(f^{\prime}(1)=1~,~\)\(f^{\prime}(0)=-3\) を満たすとき、
\(f(x)=\fbox{ア}\,x^2-\fbox{イ}\,x+\fbox{ウ}\)
\(f^{\prime}(2)=\fbox{エ}\)
2次関数 \(f(x)\) が \(f(1)=0~,~\)\(f^{\prime}(1)=1~,~\)\(f^{\prime}(0)=-3\) を満たすとき、
\(f(x)=\fbox{ア}\,x^2-\fbox{イ}\,x+\fbox{ウ}\)
\(f^{\prime}(2)=\fbox{エ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
83 数学ⅡBC【解答】
\(f(x)=2x^2-3x+1~,~f^{\prime}(2)=5\)
【より詳しい解説】
2次関数 \(f(x)\) を、
\(f(x)=ax^2+bx+c~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a(x^2)^{\prime}+b(x)^{\prime}+(c)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a \cdot 2x+b \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2ax+b~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \(f(1)=0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&0
\\[3pt]~~~a+b+c&=&0~~~\cdots {\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) と \(f^{\prime}(1)=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)=2a \cdot 1+b&=&1
\\[3pt]~~~2a+b&=&1~~~\cdots {\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) と \(f^{\prime}(0)=-3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(0)=2a \cdot 0+b&=&-3
\\[3pt]~~~b&=&-3~~~\cdots {\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,C\,]}\) と \({\rm [\,B\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2a-3&=&1
\\[3pt]~~~2a&=&4
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2+(-3)+c&=&0
\\[3pt]~~~-1+c&=&0
\\[3pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=2~,~b=-3~,~c=1\) と \({\small [\,1\,]}\) に代入して、
\(f(x)=2x^2-3x+1\)
また、\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(x)=4x-3\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(2)&=&4\cdot 2-3
\\[3pt]~~~&=&8-3
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
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