数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 84
84｜曲線の接線の方程式
84
曲線 \(y=x^2\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)点 \((2~,~4)\) における接線の傾きは \(\fbox{ア}\) であり、接線の方程式は \(y=\fbox{イ}\,x-\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)傾き \(-2\) の接線の接点は \(\left(\fbox{エオ}~,~\fbox{カ}\,\right)\) であり、接線の方程式は \(y=\fbox{キク}\,x-\fbox{ケ}\) である。
曲線 \(y=x^2\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)点 \((2~,~4)\) における接線の傾きは \(\fbox{ア}\) であり、接線の方程式は \(y=\fbox{イ}\,x-\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)傾き \(-2\) の接線の接点は \(\left(\fbox{エオ}~,~\fbox{カ}\,\right)\) であり、接線の方程式は \(y=\fbox{キク}\,x-\fbox{ケ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
84 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)傾き \(4~,~\)\(y=4x-4\)
\({\small (2)}~\)接点 \((-1~,~1)~,~\)\(y=-2x-1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(f(x)=x^2\) とおき、微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=2\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(2)=2 \cdot 2=4\)
よって、接点 \((2~,~4)\) で傾き \(4\) であるので、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-4&=&4(x-2)
\\[3pt]~~~y&=&4x-8+4
\\[3pt]~~~y&=&4x-4\end{eqnarray}\)
したがって、接線の方程式は \(y=4x-4\) となる
\({\small (2)}~\)\(f(x)=x^2\) とおき、微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
この接線の接点の \(x\) 座標を \(a\) とおくと、
\(f^{\prime}(a)\) が傾き \(-2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot a&=&-2\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)
接点の \(x\) 座標が \(-1\) のとき \(y\) 座標は、
\(f(-1)=(-1)^2=1\)
よって、接点 \((-1~,~1)\) を通り、傾き \(-2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&-2\{x-(-1)\}\\[3pt]~~~y&=&-2x-2+1\\[3pt]~~~y&=&-2x-1\end{eqnarray}\)
したがって、接線の方程式は \(y=-2x-1\) となる
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