数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 92
92｜関数xⁿの不定積分
92
次の不定積分を求めよ。
次の不定積分を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \int(3x+2)^2\,dx=\fbox{ア}\,x^3+\fbox{イ}\,x^2+\fbox{ウ}\,x+C\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \int(t-1)(t+3)\,dt=\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}t^3+t^2-\fbox{カ}\,t+C\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \int(t-1)(t+3)\,dt=\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}t^3+t^2-\fbox{カ}\,t+C\)
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共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
92 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(3x^3+6x^2+4x+C\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+t^2-3t+C\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\int (3x+2)^2\,dx\) は関数を展開し、それぞれの項の不定積分に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int (3x+2)^2\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int (9x^2+12x+4)\,dx\\[5pt]~~~&=&9\displaystyle\int x^2\,dx+12\displaystyle\int x\,dx+4\displaystyle\int dx\\[5pt]~~~&=&9 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+12 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x+C\\[5pt]~~~&=&3x^3+6x^2+4x+C\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int (t-1)(t+3)\,dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int (t^2+2t-3)\,dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int t^2\,dt+2\displaystyle\int t\,dt-3\displaystyle\int dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-3t+C\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+t^2-3t+C\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)\(3x^3+6x^2+4x+C\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+t^2-3t+C\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\int (3x+2)^2\,dx\) は関数を展開し、それぞれの項の不定積分に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int (3x+2)^2\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int (9x^2+12x+4)\,dx\\[5pt]~~~&=&9\displaystyle\int x^2\,dx+12\displaystyle\int x\,dx+4\displaystyle\int dx\\[5pt]~~~&=&9 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+12 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x+C\\[5pt]~~~&=&3x^3+6x^2+4x+C\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\int (t-1)(t+3)\,dt\) は関数を展開し、それぞれの項の不定積分に分けて、変数 \(t\) で積分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int (t-1)(t+3)\,dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int (t^2+2t-3)\,dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int t^2\,dt+2\displaystyle\int t\,dt-3\displaystyle\int dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-3t+C\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+t^2-3t+C\end{eqnarray}\)
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