数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 94
94｜定積分の計算
94
次の定積分を求めよ。
次の定積分を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \int_{0}^{1}(3x^2-4x-5)\,dx=\fbox{アイ}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \int_{-1}^{1}(t-1)(t+3)\,dt=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウエオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \int_{2}^{3}(x+1)^2\,dx-\int_{2}^{3}(x-1)^2\,dx=\fbox{キク}\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx-\int_{2}^{0}(3x^2+2x)\,dx=\fbox{ケコ}\)
\({\small (5)}~\)\(\displaystyle \int_{0}^{3}|\,x^2-4\,|\,dx=\displaystyle \frac{\,\fbox{サシ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \int_{-1}^{1}(t-1)(t+3)\,dt=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウエオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \int_{2}^{3}(x+1)^2\,dx-\int_{2}^{3}(x-1)^2\,dx=\fbox{キク}\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx-\int_{2}^{0}(3x^2+2x)\,dx=\fbox{ケコ}\)
\({\small (5)}~\)\(\displaystyle \int_{0}^{3}|\,x^2-4\,|\,dx=\displaystyle \frac{\,\fbox{サシ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
94 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(-6\)
\({\small (2)}~\)\(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\)
\({\small (3)}~\)\(10\)
\({\small (4)}~\)\(12\)
\({\small (5)}~\)\(\displaystyle \frac{\,23\,}{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(3x^2-4x-5)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-5x\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,x^3-2x^2-5x\,\Big]_0^1
\\[5pt]~~~&=&(1^3-2 \cdot 1^2-5 \cdot 1)-0
\\[3pt]~~~&=&1-2-5
\\[3pt]~~~&=&-6\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\int_0^1(3x^2-4x-5)\,dx=-6\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{-1}^1(t-1)(t+3)\,dt=-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) \(x^2-4{\small ~≧~}0\) のとき、
\((x+2)(x-2){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}{-2}~,~2{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-4\,|\\[3pt]~~~&=&x^2-4\end{eqnarray}\)
\((x+2)(x-2) \lt 0\) より、
\(-2 \lt x \lt 2\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-4\,|\\[3pt]~~~&=&-(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&-x^2+4\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,0~,~2\,]\) では関数 \(y=-x^2+4\)
区間 \([\,2~,~3\,]\) では関数 \(y=x^2-4\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{3}|\,x^2-4\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(-x^2+4)\,dx+\displaystyle\int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx\end{eqnarray}\)
ここで、
また、
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{2}(-x^2+4)\,dx+\displaystyle\int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,23\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)\(-6\)
\({\small (2)}~\)\(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\)
\({\small (3)}~\)\(10\)
\({\small (4)}~\)\(12\)
\({\small (5)}~\)\(\displaystyle \frac{\,23\,}{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(3x^2-4x-5)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-5x\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,x^3-2x^2-5x\,\Big]_0^1
\\[5pt]~~~&=&(1^3-2 \cdot 1^2-5 \cdot 1)-0
\\[3pt]~~~&=&1-2-5
\\[3pt]~~~&=&-6\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\int_0^1(3x^2-4x-5)\,dx=-6\)
\({\small (2)}~\)関数を展開して、定積分の計算をすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^1(t-1)(t+3)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^1(t^2+2t-3)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-3t\,\right]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+t^2-3t\,\right]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+1^2-3 \cdot 1\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2-3 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1+3\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1-3
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)+(1-3-1-3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-6
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-18\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^1(t^2+2t-3)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-3t\,\right]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+t^2-3t\,\right]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+1^2-3 \cdot 1\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2-3 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1+3\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1-3
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)+(1-3-1-3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-6
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-18\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\displaystyle\int_{-1}^1(t-1)(t+3)\,dt=-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\)
\({\small (3)}~\)区間が \([\,2~,~3\,]\) で同じなので、1つの定積分にまとめると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{2}^{3}(x+1)^2\,dx-\displaystyle\int_{2}^{3}(x-1)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{2}^{3}\left\{\,(x+1)^2-(x-1)^2\,\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{2}^{3}\left\{\,(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)\,\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{2}^{3}(x^2+2x+1-x^2+2x-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{2}^{3}4x\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,2x^2\,\Big]_{2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot 3^2-2 \cdot 2^2
\\[5pt]~~~&=&18-8
\\[5pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{2}^{3}\left\{\,(x+1)^2-(x-1)^2\,\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{2}^{3}\left\{\,(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)\,\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{2}^{3}(x^2+2x+1-x^2+2x-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{2}^{3}4x\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,2x^2\,\Big]_{2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot 3^2-2 \cdot 2^2
\\[5pt]~~~&=&18-8
\\[5pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (4)}~\)後半の積分の区間を逆にし、関数が同じで区間が \([\,-1~,~0\,]~,~[\,0~,~2\,]\) と連続するので、1つの定積分にまとめると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx-\displaystyle\int_{2}^{0}(3x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx+\displaystyle\int_{0}^{2}(3x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,x^3+x^2\,\Big]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&(2^3+2^2)-\left\{(-1)^3+(-1)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&(8+4)-(-1+1)
\\[5pt]~~~&=&12-0
\\[5pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx+\displaystyle\int_{0}^{2}(3x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,x^3+x^2\,\Big]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&(2^3+2^2)-\left\{(-1)^3+(-1)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&(8+4)-(-1+1)
\\[5pt]~~~&=&12-0
\\[5pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (5)}~\)関数 \(y=|\,x^2-4\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x^2-4{\small ~≧~}0\) のとき、
\((x+2)(x-2){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}{-2}~,~2{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-4\,|\\[3pt]~~~&=&x^2-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x^2-4 \lt 0\) のとき、
\((x+2)(x-2) \lt 0\) より、
\(-2 \lt x \lt 2\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-4\,|\\[3pt]~~~&=&-(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&-x^2+4\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,0~,~2\,]\) では関数 \(y=-x^2+4\)
区間 \([\,2~,~3\,]\) では関数 \(y=x^2-4\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{3}|\,x^2-4\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(-x^2+4)\,dx+\displaystyle\int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{2}(-x^2+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+4 \cdot 2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3+4 \cdot 0\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+4 \cdot 2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3+4 \cdot 0\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4x\,\right]_{2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-4 \cdot 3\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-4 \cdot 2\right)
\\[5pt]~~~&=&(9-12)-\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-3-\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-3+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-9+16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4x\,\right]_{2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-4 \cdot 3\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-4 \cdot 2\right)
\\[5pt]~~~&=&(9-12)-\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-3-\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-3+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-9+16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{2}(-x^2+4)\,dx+\displaystyle\int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,23\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
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