数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 90
90｜3次関数が極値をもつorもたない条件
90
関数 \(f(x)=x^3+ax^2+3x\) について、
\({\small (1)}~\)\(f(x)\) が極大値と極小値をもつのは、
\(a \lt \fbox{アイ}~,~\)\(\fbox{ウ} \lt a\) のときである。
\({\small (2)}~\)\(f(x)\) が極値をもたないのは、
\(\fbox{エオ}{\small ~≦~}a{\small ~≦~}\fbox{カ}\) のときである。
関数 \(f(x)=x^3+ax^2+3x\) について、
\({\small (1)}~\)\(f(x)\) が極大値と極小値をもつのは、
\(a \lt \fbox{アイ}~,~\)\(\fbox{ウ} \lt a\) のときである。
\({\small (2)}~\)\(f(x)\) が極値をもたないのは、
\(\fbox{エオ}{\small ~≦~}a{\small ~≦~}\fbox{カ}\) のときである。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
90 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(a \lt -3~,~3 \lt a\)
\({\small (2)}~\)\(-3{\small ~≦~}a{\small ~≦~}3\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(f(x)=x^3+ax^2+3x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+3 \cdot (x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+3 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+3\end{eqnarray}\)
\(f(x)\) が極大値と極小値をもつには、
\(f^{\prime}(x)=0\) は異なる2つの実数解をもてばよい
よって、2次方程式 \(3x^2+2ax+3=0\) の判別式を \(D\) とすると、\(D \gt 0\) であればよい
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=a^2-3 \cdot 3 &\gt& 0
\\[5pt]~~~a^2-9 &\gt& 0
\\[3pt]~~~(a+3)(a-3) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
横軸を \(a\) とした \(y=(a+3)(a-3)\) のグラフは、
\(y \gt 0\) の範囲は \(a \lt -3~,~3 \lt a\)
したがって、\(a \lt -3~,~3 \lt a\) となる
\({\small (2)}~\)極値をもたない条件は、
\(f^{\prime}(x)=0\) が重解をもつ、または実数解をもたないときであり、
2次方程式 \(3x^2+2ax+3=0\) の判別式を \(D\) とすると、\(D{\small ~≦~}0\) であればよい
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=a^2-3 \cdot 3&{\small ~≦~}&0
\\[5pt]~~~a^2-9&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~(a+3)(a-3)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)
横軸を \(a\) とした \(y=(a+3)(a-3)\) のグラフは、
\(y{\small ~≦~}0\) の範囲は \(-3{\small ~≦~}a{\small ~≦~}3\)
したがって、\(-3{\small ~≦~}a{\small ~≦~}3\) となる
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