共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分の基本問題18問【PDF・解説つき】

81 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,f(5)-f(2)\,}{\,5-2\,}=7\)

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\(\begin{eqnarray}{\small (2)}&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\,f(3+h)-f(3)\,}{\,h\,}\\[5pt]&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}(h+6)=6\end{eqnarray}\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(x\) が \(a\) から \(b\) まで変化するときの平均変化率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,f(b)-f(a)\,}{\,b-a\,}\)

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\(f(x)=x^2\) で、\(x\) が \(2\) から \(5\) まで変化するので、\(a=2~,~b=5\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,f(5)-f(2)\,}{\,5-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5^2-2^2\,}{\,5-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)

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したがって、平均変化率は \(7\) となる

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\({\small (2)}~\)\(f(x)=x^2\) の \(x=3\) での微分係数 \(f^{\prime}(3)\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(3)&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(3+h)-f(3)\,}{\,(3+h)-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,(3+h)^2-3^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,9+6h+h^2-9\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,6h+h^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}(h+6)
\\[5pt]~~~&=&0+6
\\[5pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)

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したがって、\(f^{\prime}(3)=6\) となる