数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 97
97｜定積分と面積
97
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
\({\small (1)}~\)曲線 \(y=x^2-2x+3\) と \(x\) 軸、\(y\) 軸、直線 \(x=3\) で囲まれた図形の面積は、\(\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)曲線 \(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{イ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)曲線 \(y=x^3-4x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた2つの部分の面積の和は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カキ}\,}\) である。
\({\small (4)}~\)曲線 \(y=x^2+x-1\) と直線 \(y=2x+1\) で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\) である。
\({\small (5)}~\)2曲線 \(y=x^2+3x-7\) と \(y=-x^2+x+5\) で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{コサシ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\) である。
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
\({\small (1)}~\)曲線 \(y=x^2-2x+3\) と \(x\) 軸、\(y\) 軸、直線 \(x=3\) で囲まれた図形の面積は、\(\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)曲線 \(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{イ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)曲線 \(y=x^3-4x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた2つの部分の面積の和は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カキ}\,}\) である。
\({\small (4)}~\)曲線 \(y=x^2+x-1\) と直線 \(y=2x+1\) で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\) である。
\({\small (5)}~\)2曲線 \(y=x^2+3x-7\) と \(y=-x^2+x+5\) で囲まれた図形の面積は、\(\displaystyle \frac{\,\fbox{コサシ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
97 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(9\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,37\,}{\,12\,}\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
\({\small (5)}~\)\(\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(y=x^2-2x+3\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(x^2-2x+1)-1+3\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2+2\end{eqnarray}\)
頂点 \((1~,~2)\) の下に凸のグラフより、
これより、囲まれた図形は、曲線が \(x\) 軸より上側にあり、区間が \([\,0~,~3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^3(x^2-2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_0^3
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2+3x\,\right]_0^3
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-3^2+3 \cdot 3\right)-0
\\[3pt]~~~&=&9-9+9
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(9\) となる
\({\small (2)}~\)\(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸との交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x&=&0\\[3pt]~~~x(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~2\end{eqnarray}\)
よって、2点 \((0~,~0)~,~(2~,~0)\) を通り、下に凸のグラフとなるので、
これより、囲まれた図形は \(x\) 軸より下側にあり、区間が \([\,0~,~2\,]\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_0^2(x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2(-x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+12\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となる
\({\small (3)}~\)\(y=x^3-4x^2+3x\) と \(x\) 軸との交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-4x^2+3x&=&0\\[3pt]~~~x(x^2-4x+3)&=&0\\[3pt]~~~x(x-1)(x-3)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~1~,~3\end{eqnarray}\)
よって、3点 \((0~,~0)~,~(1~,~0)~,~(3~,~0)\) となり、\(x^3\) の係数が正なので、
これより、\(x\) 軸で囲まれた図形は、
区間 \([\,0~,~1\,]\) において \(x\) 軸より上側
区間 \([\,1~,~3\,]\) において \(x\) 軸より下側
であるので、
\(\displaystyle\int_0^1(x^3-4x^2+3x)\,dx-\displaystyle\int_1^3(x^3-4x^2+3x)\,dx\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(x^3-4x^2+3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 1^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-16+18\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_1^3(x^3-4x^2+3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^3(-x^3+4x^2-3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^3
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^3
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 3^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 3^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}+36-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+\left(-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+36
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,80\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+36
\\[5pt]~~~&=&(-20-12+36)-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12-4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^3(-x^3+4x^2-3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^3
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^3
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 3^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 3^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}+36-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+\left(-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+36
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,80\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+36
\\[5pt]~~~&=&(-20-12+36)-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12-4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+32\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,37\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,37\,}{\,12\,}\) となる
\({\small (4)}~\)放物線 \(y=x^2+x-1\) と直線 \(y=2x+1\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+x-1&=&2x+1
\\[3pt]~~~x^2-x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=x^2+x-1\) は下に凸であるので、
よって、囲まれた図形の面積は、直線 \(y=2x+1\) が上側、放物線 \(y=x^2+x-1\) が下側で、区間が \([\,-1~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(2x+1)-(x^2+x-1)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(2x+1-x^2-x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2+2 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2+2 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+(2+4+2)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+8
\\[5pt]~~~&=&5-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(2x+1-x^2-x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2+2 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2+2 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+(2+4+2)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+8
\\[5pt]~~~&=&5-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (5)}~\)放物線 \(y=x^2+3x-7\) と放物線 \(y=-x^2+x+5\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+3x-7&=&-x^2+x+5
\\[3pt]~~~2x^2+2x-12&=&0
\\[3pt]~~~2(x^2+x-6)&=&0
\\[3pt]~~~2(x+3)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3~,~2\end{eqnarray}\)
これより、
囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2+x+5\) が上側、放物線 \(y=x^2+3x-7\) が下側で、区間が \([\,-3~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{2}\{(-x^2+x+5)-(x^2+3x-7)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-x^2+x+5-x^2-3x+7)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-2x^2-2x+12)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3-x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2+12 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-(-3)^2+12 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-4+24-(18-9-36)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+20+27
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+47
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+141\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-x^2+x+5-x^2-3x+7)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-2x^2-2x+12)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3-x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2+12 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-(-3)^2+12 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-4+24-(18-9-36)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+20+27
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+47
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+141\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\) となる
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