数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 82
82｜導関数の定義と微分の計算
82
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)関数 \(f(x)=x^3\) の導関数は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\,f\left(\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\,\right)-f\left(\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\,\right)\,}{\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left(\,\fbox{エ}\,x^2+\fbox{オ}\,xh+h^2\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\fbox{カ}\,x^{\fbox{キ}}\end{eqnarray}\)
選択肢：⓪ \(x\) ① \(h\) ② \(x+h\)
③ \(x-h\) ④ \(x^2\)
\({\small (2)}~\)次の関数を微分せよ。
\(f(x)=x^3-3x^2+5x-1\) のとき、
\(f^{\prime}(x)=\fbox{ク}\,x^2-\fbox{ケ}\,x+\fbox{コ}\)
\(f(x)=(x-1)(x+3)\) のとき、
\(f^{\prime}(x)=\fbox{サ}\,x+\fbox{シ}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)関数 \(f(x)=x^3\) の導関数は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\,f\left(\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\,\right)-f\left(\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\,\right)\,}{\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left(\,\fbox{エ}\,x^2+\fbox{オ}\,xh+h^2\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\fbox{カ}\,x^{\fbox{キ}}\end{eqnarray}\)
選択肢：⓪ \(x\) ① \(h\) ② \(x+h\)
③ \(x-h\) ④ \(x^2\)
\({\small (2)}~\)次の関数を微分せよ。
\(f(x)=x^3-3x^2+5x-1\) のとき、
\(f^{\prime}(x)=\fbox{ク}\,x^2-\fbox{ケ}\,x+\fbox{コ}\)
\(f(x)=(x-1)(x+3)\) のとき、
\(f^{\prime}(x)=\fbox{サ}\,x+\fbox{シ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
82 数学ⅡBC【解答】
\(\begin{eqnarray}{\small (1)}~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left(\,3x^2+3xh+h^2\,\right)
\\[5pt]~~~&=&3x^2\end{eqnarray}\)
（ア ② イ ⓪ ウ ①）
\({\small (2)}~\)\(f^{\prime}(x)=3x^2-6x+5\)
\(\hspace{13pt}\)\(f^{\prime}(x)=2x+2\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)関数 \(f(x)=x^3\) について、導関数 \(f^{\prime}(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,(x+h)^3-x^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,3x^2h+3xh^2+h^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2)
\\[3pt]~~~&=&3x^2\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,(x+h)^3-x^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,3x^2h+3xh^2+h^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2)
\\[3pt]~~~&=&3x^2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(f^{\prime}(x)=3x^2\) となる
\({\small (2)}~\)\(f(x)=x^3-3x^2+5x-1\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x^2)^{\prime}+5 \cdot (x)^{\prime}+(-1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 2x+5 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2-6x+5\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 2x+5 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2-6x+5\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(f^{\prime}(x)=3x^2-6x+5\) となる
また、\(f(x)=(x-1)(x+3)\) を展開すると、
\(f(x)=x^2+2x-3\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}+2 \cdot (x)^{\prime}+(-3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2x+2 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2x+2\end{eqnarray}\)
したがって、\(f^{\prime}(x)=2x+2\) となる
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