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89｜極値の条件と関数の決定
89
関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) が \(x=-3\) で極大値、\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとるとき、定数 \(a~,~\)\(b~,~\)\(c\) の値は、
\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イウ}~,~\)\(c=\fbox{エ}\) であり、
\(f(x)\) の極大値は \(\fbox{オカ}\) である。
関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) が \(x=-3\) で極大値、\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとるとき、定数 \(a~,~\)\(b~,~\)\(c\) の値は、
\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イウ}~,~\)\(c=\fbox{エ}\) であり、
\(f(x)\) の極大値は \(\fbox{オカ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
89 数学ⅡBC【解答】
\(a=3~,~b=-9~,~c=1\)
極大値 \(f(-3)=28\)
【より詳しい解説】
\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+b(x)^{\prime}+(c)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+b \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+b~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-3\) で極大値をとるので、
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(-3)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-3)=3 \cdot (-3)^2+2a \cdot (-3)+b&=&0
\\[3pt]~~~27-6a+b&=&0
\\[3pt]~~~-6a+b&=&-27
\\[3pt]~~~6a-b&=&27~~~\cdots {\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~27-6a+b&=&0
\\[3pt]~~~-6a+b&=&-27
\\[3pt]~~~6a-b&=&27~~~\cdots {\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとるので、
\(f(1)=-4\) かつ \(f^{\prime}(1)=0\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(1)=-4\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)=1^3+a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&-4
\\[3pt]~~~1+a+b+c&=&-4
\\[3pt]~~~a+b+c&=&-5~~~\cdots {\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~1+a+b+c&=&-4
\\[3pt]~~~a+b+c&=&-5~~~\cdots {\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(1)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)=3 \cdot 1^2+2a \cdot 1+b&=&0
\\[3pt]~~~3+2a+b&=&0
\\[3pt]~~~2a+b&=&-3~~~\cdots {\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3+2a+b&=&0
\\[3pt]~~~2a+b&=&-3~~~\cdots {\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\rm [\,A\,]}\) と \({\rm [\,C\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
6a-b&=&27\\~~
+\big{)}~~~2a+b&=&-3\\
\hline 8a&=&24
\\[3pt] a&=&3\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,C\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 3+b&=&-3
\\[3pt]~~~6+b&=&-3
\\[3pt]~~~b&=&-9\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3+(-9)+c&=&-5
\\[3pt]~~~-6+c&=&-5
\\[3pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)
よって、\(a=3~,~b=-9~,~c=1\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^3+3x^2-9x+1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x^2+6x-9
\\[3pt]~~~&=&3(x^2+2x-3)
\\[3pt]~~~&=&3(x+3)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=-3~,~1\)
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-3 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-3)&=&(-3)^3+3 \cdot (-3)^2-9 \cdot (-3)+1
\\[3pt]~~~&=&-27+27+27+1
\\[3pt]~~~&=&28\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&-27+27+27+1
\\[3pt]~~~&=&28\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3+3 \cdot 1^2-9 \cdot 1+1
\\[3pt]~~~&=&1+3-9+1
\\[3pt]~~~&=&-4\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -3 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 28 & \searrow & -4 & \nearrow\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=-3\) で極大値 \(28\)
\(x=1\) で極小値 \(-4\)
となり、条件を満たす
したがって、
\(a=3~,~b=-9~,~c=1\)、極大値は \(28\)
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