数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 95
95｜定積分∫f(t)dtを含む関数
95
関数 \(f(x)\) が
等式 \(\displaystyle f(x)=3x^2-2x+\int_{\,0\,}^{\,2\,}f(t)\,dt\) を満たすとき、\(\displaystyle \int_{\,0\,}^{\,2\,}f(t)\,dt=a\) とおくと、
\(a=\fbox{アイ}\) となり、
\(f(x)=\fbox{ウ}\,x^2-\fbox{エ}\,x-\fbox{オ}\) である。
関数 \(f(x)\) が
等式 \(\displaystyle f(x)=3x^2-2x+\int_{\,0\,}^{\,2\,}f(t)\,dt\) を満たすとき、\(\displaystyle \int_{\,0\,}^{\,2\,}f(t)\,dt=a\) とおくと、
\(a=\fbox{アイ}\) となり、
\(f(x)=\fbox{ウ}\,x^2-\fbox{エ}\,x-\fbox{オ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
95 数学ⅡBC【解答】
\(a=-4~,~f(x)=3x^2-2x-4\)
【より詳しい解説】
\(f(x)=3x^2-2x+\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
定積分 \(\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) の計算結果は定数になるので、
定数 \(a\) を用いて、\(a=\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\) とおく
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=3x^2-2x+a\)
よって、\(f(t)=3t^2-2t+a\) となるので、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2 (3t^2-2t+a)\,dt\end{eqnarray}\)
※ \(t\) の関数の定積分であるので、\(a\) は関数でなく数字と同じ扱いで計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a}&=&\Big[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2+at\,\Big]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,t^3-t^2+at\,\Big]_0^2
\\[5pt]~~~&=&(2^3-2^2+a \cdot 2)-0
\\[3pt]~~~&=&8-4+2a
\\[3pt]~~~&=&4+2a\end{eqnarray}\)
左辺も \(a\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&4+2a
\\[3pt]~~~-a&=&4
\\[3pt]~~~a&=&-4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-4\) であり、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=3x^2-2x-4\)
微分と積分｜問題一覧はこちら→
