数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 87
87｜導関数と3次関数のグラフ
87
関数 \(y=x^3-3x\) の増減は、
\(x{\small ~≦~}\fbox{アイ}~,~\)\(\fbox{ウ}{\small ~≦~}x\) で単調に増加し、
\(\fbox{エオ}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\fbox{カ}\) で単調に減少する。
また、
\(x=\fbox{キク}\) で極大値 \(\fbox{ケ}\) 、
\(x=\fbox{コ}\) で極小値 \(\fbox{サシ}\) をとる。
関数 \(y=x^3-3x\) の増減は、
\(x{\small ~≦~}\fbox{アイ}~,~\)\(\fbox{ウ}{\small ~≦~}x\) で単調に増加し、
\(\fbox{エオ}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\fbox{カ}\) で単調に減少する。
また、
\(x=\fbox{キク}\) で極大値 \(\fbox{ケ}\) 、
\(x=\fbox{コ}\) で極小値 \(\fbox{サシ}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
87 数学ⅡBC【解答】
\(x{\small ~≦~}{-1}~,~1{\small ~≦~}x\) で単調に増加
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) で単調に減少
\(x=-1\) で極大値 \(2~,~\)\(x=1\) で極小値 \(-2\)
【より詳しい解説】
\(f(x)=x^3-3x\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~3(x+1)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)\\[3pt]~~~&=&-1+3\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-3\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow\end{array}\)
これより、
\(x{\small ~≦~}{-1}~,~1{\small ~≦~}x\) で単調に増加
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) で単調に減少
\(x=-1\) のとき、極大値 \(2\)
\(x=1\) のとき、極小値 \(-2\)
また、\(y=x^3-3x\) のグラフは、点 \((-1~,~2)~,~\)\((1~,~-2)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、
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