数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 98
98｜放物線と2本の接線で囲まれた面積
98
放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((1~,~1)~,~\)\((-3~,~9)\) における接線の方程式は、
\(y=\fbox{ア}\,x-\fbox{イ}~,~\)\(y=\fbox{ウエ}\,x-\fbox{オ}\)
2本の接線の交点の \(x\) 座標は \(x=\fbox{カキ}\) であり、この放物線と2本の接線で囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((1~,~1)~,~\)\((-3~,~9)\) における接線の方程式は、
\(y=\fbox{ア}\,x-\fbox{イ}~,~\)\(y=\fbox{ウエ}\,x-\fbox{オ}\)
2本の接線の交点の \(x\) 座標は \(x=\fbox{カキ}\) であり、この放物線と2本の接線で囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
98 数学ⅡBC【解答】
\(y=2x-1~,~y=-6x-9\)
\(x=-1~,~\)面積 \(\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
\(f(x)=x^2\) とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2x\end{eqnarray}\)
点 \((1~,~1)\) での接線の傾きは、
\(f^{\prime}(1)=2 \cdot 1=2\)
よって、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&2(x-1)\\[3pt]~~~y&=&2x-2+1\\[3pt]~~~y&=&2x-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((-3~,~9)\) での接線の傾きは、
\(f^{\prime}(-3)=2 \cdot (-3)=-6\)
よって、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-9&=&-6\{x-(-3)\}\\[3pt]~~~y&=&-6(x+3)+9\\[3pt]~~~y&=&-6x-18+9\\[3pt]~~~y&=&-6x-9~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
次に、2本の接線の交点の \(x\) 座標は、\({\small [\,1\,]}~,~\)\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-1&=&-6x-9\\[3pt]~~~8x&=&-8\\[3pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-3~,~-1\,]\) では、放物線 \(y=x^2\) が上側で直線 \(y=-6x-9\) が下側
区間 \([\,-1~,~1\,]\) では、放物線 \(y=x^2\) が上側で直線 \(y=2x-1\) が下側
よって、囲まれた図形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{-1}\{x^2-(-6x-9)\}\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}\{x^2-(2x-1)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{-1}(x^2+6x+9)\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2-2x+1)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{-1}(x^2+6x+9)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+6 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+9x\,\right]_{-3}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+3x^2+9x\,\right]_{-3}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)^2+9 \cdot (-1)\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3+3 \cdot (-3)^2+9 \cdot (-3)\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+3-9\right)-\left(-9+27-27\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-6\right)-(-9)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-6+9
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+9\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+6 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+9x\,\right]_{-3}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+3x^2+9x\,\right]_{-3}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)^2+9 \cdot (-1)\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3+3 \cdot (-3)^2+9 \cdot (-3)\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+3-9\right)-\left(-9+27-27\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-6\right)-(-9)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-6+9
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+9\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2-2x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-1^2+1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-(-1)^2+(-1)\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1+1\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-1^2+1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-(-1)^2+(-1)\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1+1\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\) となる
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