数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 93
93｜接線の傾きと不定積分
93
曲線 \(y=f(x)\) は点 \((0~,~3)\) を通り、この曲線上の点 \((x~,~f(x))\) における接線の傾きが \(x^2-x\) で表されるとき、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}x^3-\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}x^2+\fbox{オ}\) である。
曲線 \(y=f(x)\) は点 \((0~,~3)\) を通り、この曲線上の点 \((x~,~f(x))\) における接線の傾きが \(x^2-x\) で表されるとき、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}x^3-\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}x^2+\fbox{オ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
93 数学ⅡBC【解答】
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3\)
【より詳しい解説】
曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((x~,~f(x))\) における接線の傾きが \(x^2-x\) より、
\(f^{\prime}(x)=x^2-x\)
これより、積分定数を \(C\) とし、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\int(x^2-x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int x^2\,dx-\displaystyle\int x\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+C\end{eqnarray}\)
また、点 \((0~,~3)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 0^2+C&=&3\\[5pt]~~~C&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3\)
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