数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 85
85｜曲線外の点から引いた接線の方程式
85
曲線 \(y=x^2\) に点 \({\rm A}(2~,~-5)\) から引いた接線の方程式は、
\(y=\fbox{アイ}\,x-\fbox{ウエ}\) と
\(y=\fbox{オカ}\,x-\fbox{キ}\) である。
曲線 \(y=x^2\) に点 \({\rm A}(2~,~-5)\) から引いた接線の方程式は、
\(y=\fbox{アイ}\,x-\fbox{ウエ}\) と
\(y=\fbox{オカ}\,x-\fbox{キ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
85 数学ⅡBC【解答】
\(y=10x-25~,~y=-2x-1\)
【より詳しい解説】
\(f(x)=x^2\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=a^2\)
よって、接点 \((a~,~a^2)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=2a\)
これより、接点 \((a~,~a^2)\)、傾き \(2a\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-a^2&=&2a(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&2ax-2a^2+a^2
\\[3pt]~~~y&=&2ax-a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が点 \((2~,~-5)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&2a \cdot 2-a^2
\\[3pt]~~~a^2-4a-5&=&0
\\[3pt]~~~(a-5)(a+1)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&5~,~-1\end{eqnarray}\)
\(a=5\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 5 \cdot x-5^2
\\[3pt]~~~&=&10x-25\end{eqnarray}\)
\(a=-1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot (-1)x-(-1)^2
\\[3pt]~~~&=&-2x-1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=10x-25~,~y=-2x-1\) となる
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