数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 88
88｜3次関数の最大値・最小値
88
関数 \(y=x^3-3x\) \((-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) について、
\(x=\fbox{ア}\) で最大値 \(\fbox{イウ}\) 、
\(x=\fbox{エオ}~,~\fbox{カ}\) で最小値 \(\fbox{キク}\) をとる。
関数 \(y=x^3-3x\) \((-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) について、
\(x=\fbox{ア}\) で最大値 \(\fbox{イウ}\) 、
\(x=\fbox{エオ}~,~\fbox{カ}\) で最小値 \(\fbox{キク}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
88 数学ⅡBC【解答】
\(x=3\) で最大値 \(18\)
\(x=-2~,~1\) で最小値 \(-2\)
【より詳しい解説】
\(f(x)=x^3-3x\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~3(x+1)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、区間 \(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) における \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(-2 \lt x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)\\[3pt]~~~&=&-1+3\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-3\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
また、区間の端の値について、
\(x=-2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^3-3 \cdot (-2)\\[3pt]~~~&=&-8+6\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3^3-3 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&27-9\\[3pt]~~~&=&18\end{eqnarray}\)
これより、区間 \(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) における増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & -2 & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots & 3 \\\hline f^{\prime}(x) & & + & 0 & – & 0 & + & \\\hline f(x) & -2 & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow & 18\end{array}\)
したがって、グラフより、
\(x=3\) のとき最大値 \(18\)
\(x=-2~,~1\) のとき最小値 \(-2\)
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