数学Ⅱ｜微分と積分｜問題一覧 ＞ 問題解説 96
96｜区間にxを含む定積分と関数の決定
96
関数 \(f(x)\) と定数 \(a\) が
等式 \(\displaystyle \int_{\,a\,}^{\,x\,}f(t)\,dt=x^2+3x-10\) を満たすとき、
\(f(x)=\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) で、\(a=\fbox{ウエ}~,~\fbox{オ}\) である。
関数 \(f(x)\) と定数 \(a\) が
等式 \(\displaystyle \int_{\,a\,}^{\,x\,}f(t)\,dt=x^2+3x-10\) を満たすとき、
\(f(x)=\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) で、\(a=\fbox{ウエ}~,~\fbox{オ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜微分と積分
96 数学ⅡBC【解答】
\(f(x)=2x+3~,~a=-5~,~2\)
【より詳しい解説】
\(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2+3x-10~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
定積分 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) の計算結果は区間が \([\,a~,~x\,]\) より、\(x\) の関数となる
よって、\({\small [\,1\,]}\) の両辺の関数を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt&=&(x^2+3x-10)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&(x^2)^{\prime}+3 \cdot (x)^{\prime}+(-10)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&2x+3 \cdot 1+0\\[5pt]~~~&=&2x+3\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,1\,]}\) の等式に \(x=a\) を代入すると、
\(\displaystyle\int_a^a f(t)\,dt=a^2+3a-10\)
区間 \([\,a~,~a\,]\) で変化がないので \(0\) となり、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+3a-10&=&0\\[3pt]~~~(a+5)(a-2)&=&0\\[3pt]~~~a&=&-5~,~2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(f(x)=2x+3~,~a=-5~,~2\) となる
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