共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数の基本問題15問【PDF・解説つき】

73 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(\log_{10}72=3a+2b\)

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\({\small (2)}~\)\(\log_{10}5=1-a\)

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\({\small (3)}~\)\(\log_{12}27=\displaystyle \frac{\,3b\,}{\,2a+b\,}\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)真数 \(72\) を積の形にし、対数の和にすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}72&=&\log_{10}(2^3{\, \small \times \,}3^2)
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}2^3+\log_{10}3^2
\\[3pt]~~~&=&3\log_{10}2+2\log_{10}3
\\[3pt]~~~&=&3a+2b\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)真数 \(5\) を \(10\) と \(2\) の商の形にし、対数の差にすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}5&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10-\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&1-a\end{eqnarray}\)

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\({\small (3)}~\)底を \(10\) にすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\log_{12}27&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}27\,}{\,\log_{10}12\,}\end{eqnarray}\)

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真数 \(27\) と \(12\) を積の形にして、対数の和にすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\log_{12}27}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}3^3\,}{\,\log_{10}(2^2{\, \small \times \,}3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}3^3\,}{\,\log_{10}2^2+\log_{10}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\log_{10}3\,}{\,2\log_{10}2+\log_{10}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3b\,}{\,2a+b\,}\end{eqnarray}\)