数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 76
76｜対数関数を含む方程式・不等式
76
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\log_{2}(x-1)=3\) の解は、\(x=\fbox{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{\large \frac{1}{2}}x \gt -1\) の解は、\(\fbox{イ} \lt x \lt \fbox{ウ}\)
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\log_{2}(x-1)=3\) の解は、\(x=\fbox{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{\large \frac{1}{2}}x \gt -1\) の解は、\(\fbox{イ} \lt x \lt \fbox{ウ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
76 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(x=9\)
\({\small (2)}~\)\(0 \lt x \lt 2\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\log_{2}(x-1)=3\) について、
真数条件より、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1& \gt &0
\\[3pt]~~~x& \gt &1\end{eqnarray}\)
対数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&=&2^3
\\[3pt]~~~x&=&8+1
\\[3pt]~~~x&=&9\end{eqnarray}\)
これは、\(x \gt 1\) を満たす
したがって、\(x=9\) となる
【別解】 \(\log_{2}(x-1)=3\) について、
真数条件より、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1& \gt &0
\\[3pt]~~~x& \gt &1\end{eqnarray}\)
両辺を底が \(2\) の対数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}(x-1)&=&3
\\[3pt]~~~\log_{2}(x-1)&=&\log_{2}2^3\end{eqnarray}\)
真数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&=&2^3
\\[3pt]~~~x&=&8+1
\\[3pt]~~~x&=&9\end{eqnarray}\)
これは、\(x \gt 1\) を満たす
したがって、\(x=9\) となる
\({\small (2)}~\)\(\log_{\large \frac{1}{2}}x \gt -1\) について、
真数条件より、
\(x \gt 0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
両辺を底が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の対数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{\large \frac{1}{2}}x&\gt&-1
\\[5pt]~~~\log_{\large \frac{1}{2}}x&\gt&\log_{\large \frac{1}{2}}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{-1}
\\[5pt]~~~\log_{\large \frac{1}{2}}x&\gt&\log_{\large \frac{1}{2}}2\end{eqnarray}\)
底が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で \(1\) より小さいので、真数の大小関係は逆になり、
\(x \lt 2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(0 \lt x \lt 2\) となる
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