数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 67
67｜xᵃ+x⁻ᵃとxᵃx⁻ᵃ=1を用いた計算
67
\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) のとき、次の値を求めよ。
\(x+x^{-1}=\fbox{ア}~,~\)\(x^2+x^{-2}=\fbox{イウ}~,~\)
\(x^3+x^{-3}=\fbox{エオカ}\)
\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) のとき、次の値を求めよ。
\(x+x^{-1}=\fbox{ア}~,~\)\(x^2+x^{-2}=\fbox{イウ}~,~\)
\(x^3+x^{-3}=\fbox{エオカ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
67 数学ⅡBC【解答】
\(x+x^{-1}=7\)
\(x^2+x^{-2}=47\)
\(x^3+x^{-3}=322\)
【より詳しい解説】
\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) の両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}\right)^2&=&3^2\\[3pt]~~~(x^{\large \frac{1}{2}})^2+2 \cdot x^{\large \frac{1}{2}} \cdot x^{\large -\frac{1}{2}}+(x^{\large -\frac{1}{2}})^2&=&9\end{eqnarray}\)
ここで、\(x^{\large \frac{1}{2}} \cdot x^{\large -\frac{1}{2}}=x^{\large \frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=x^0=1\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+2 \cdot 1+x^{-1}&=&9\\[3pt]~~~x+x^{-1}&=&9-2\\[3pt]~~~x+x^{-1}&=&7\end{eqnarray}\)
次に、\(x^2+x^{-2}\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+x^{-2}\\[3pt]~~~&=&(x+x^{-1})^2-2\,x\,x^{-1}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(x+x^{-1}=7~,~x\,x^{-1}=1\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&7^2-2 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&49-2\\[3pt]~~~&=&47\end{eqnarray}\)
次に、\(x^3+x^{-3}\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^3+x^{-3}\\[3pt]~~~&=&(x+x^{-1})^3-3\,x\,x^{-1}\, (x+x^{-1})\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(x+x^{-1}=7~,~x\,x^{-1}=1\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&7^3-3 \cdot 1 \cdot 7\\[3pt]~~~&=&343-21\\[3pt]~~~&=&322\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x+x^{-1}=7~,~\)\(x^2+x^{-2}=47~,~\)
\(x^3+x^{-3}=322\) となる
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