数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 72
72｜対数の計算
72
次の計算をせよ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}0.01=\fbox{アイ}\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{4}2=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{10}4+2\log_{10}5=\fbox{オ}\)
\({\small (4)}~\)\(\log_{3}24-3\log_{3}2=\fbox{カ}\)
\({\small (5)}~\)\(\log_{2}3 \cdot \log_{3}5 \cdot \log_{5}8=\fbox{キ}\)
\({\small (6)}~\)\(\log_{3}6-\log_{9}4=\fbox{ク}\)
\({\small (7)}~\)\((\log_{3}2+\log_{9}4)(\log_{2}3+\log_{4}3)=\fbox{ケ}\)
次の計算をせよ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}0.01=\fbox{アイ}\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{4}2=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{10}4+2\log_{10}5=\fbox{オ}\)
\({\small (4)}~\)\(\log_{3}24-3\log_{3}2=\fbox{カ}\)
\({\small (5)}~\)\(\log_{2}3 \cdot \log_{3}5 \cdot \log_{5}8=\fbox{キ}\)
\({\small (6)}~\)\(\log_{3}6-\log_{9}4=\fbox{ク}\)
\({\small (7)}~\)\((\log_{3}2+\log_{9}4)(\log_{2}3+\log_{4}3)=\fbox{ケ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
72 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(-2\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~\)\(2\)
\({\small (4)}~\)\(1\)
\({\small (5)}~\)\(3\)
\({\small (6)}~\)\(1\)
\({\small (7)}~\)\(3\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(0.01=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}=10^{-2}\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}0.01&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10^{-2}
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(2=\sqrt{\,4\,}=4^{\large \frac{1}{2}}\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{4}2&=&\log_{4}\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&\log_{4}4^{\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 底が \(4\) より、真数を \(4^p\) とするために \(2=\sqrt{\,4\,}=4^{\large \frac{1}{2}}\) とする。
\({\small (3)}~\)対数の係数を真数の指数部分にもってくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_{10}4+2\log_{10}5
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}4+\log_{10}5^2
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}4+\log_{10}25\end{eqnarray}\)
対数の和は真数の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_{10}(4 {\, \small \times \,} 25)
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}100
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}10^2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\)対数の係数を真数の指数部分にもってくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_{3}24-3\log_{3}2
\\[3pt]~~~&=&\log_{3}24-\log_{3}2^3
\\[3pt]~~~&=&\log_{3}24-\log_{3}8\end{eqnarray}\)
対数の差は真数の商より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_{3}\displaystyle \frac{\,24\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{3}3
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small (5)}~\)底を \(2\) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&\log_23 \cdot \log_35 \cdot \log_58
\\[5pt]~~~&=&\log_23 \cdot \displaystyle \frac{\,\log_25\,}{\,\log_23\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_28\,}{\,\log_25\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_2 3} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_25}\,}{\,\cancel{\log_2 3}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_28\,}{\,\cancel{\log_25}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_28
\\[5pt]~~~&=&\log_22^3
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small (6)}~\)底を \(3\) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_36-\log_94
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\displaystyle \frac{\,\log_34\,}{\,\log_39\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\displaystyle \frac{\,\log_34\,}{\,\log_33^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\displaystyle \frac{\,\log_34\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
分母の \(2\) を係数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) にして、真数の指数部分にもってくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_36-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \log_34
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\log_34^{\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\log_3(2^2)^{\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\log_32\end{eqnarray}\)
対数の差は真数の商より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_3\displaystyle \frac{\,6\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_33
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small (7)}~\)底を \(2\) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\log_32+\log_94)(\log_23+\log_43)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\log_22\,}{\,\log_23\,}+\displaystyle \frac{\,\log_24\,}{\,\log_29\,}\right)\left(\log_23+\displaystyle \frac{\,\log_23\,}{\,\log_24\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_23\,}+\displaystyle \frac{\,\log_22^2\,}{\,\log_23^2\,}\right)\left(\log_23+\displaystyle \frac{\,\log_23\,}{\,\log_22^2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_23\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\log_23\,}\right)\left(\log_23+\displaystyle \frac{\,\log_23\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\log_22\,}{\,\log_23\,}+\displaystyle \frac{\,\log_24\,}{\,\log_29\,}\right)\left(\log_23+\displaystyle \frac{\,\log_23\,}{\,\log_24\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_23\,}+\displaystyle \frac{\,\log_22^2\,}{\,\log_23^2\,}\right)\left(\log_23+\displaystyle \frac{\,\log_23\,}{\,\log_22^2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_23\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\log_23\,}\right)\left(\log_23+\displaystyle \frac{\,\log_23\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
かっこの中を通分して計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_23\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_23\,}\right)\left(\displaystyle \frac{\,2\log_23\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\log_23\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\log_23\,} \cdot \displaystyle \frac{\,3\log_23\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{2}\,}{\,\cancel{\log_23}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,3\cancel{\log_23}\,}{\,\cancel{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\log_23\,} \cdot \displaystyle \frac{\,3\log_23\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{2}\,}{\,\cancel{\log_23}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,3\cancel{\log_23}\,}{\,\cancel{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
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