数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 79
79｜対数関数を含む関数の最大値・最小値
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\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) のとき、
関数 \(y=(\log_{2}x)^2-4\log_{2}x\) は、\(\log_{2}x=t\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t\) と表される。
また、\(\fbox{イ}{\small ~≦~}t{\small ~≦~}\fbox{ウ}\) であるから、\(y\) は
\(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最大値 \(\fbox{カ}\) 、
\(t=\fbox{キ}\) すなわち \(x=\fbox{ク}\) で最小値 \(\fbox{ケコ}\)
をとる。
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) のとき、
関数 \(y=(\log_{2}x)^2-4\log_{2}x\) は、\(\log_{2}x=t\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t\) と表される。
また、\(\fbox{イ}{\small ~≦~}t{\small ~≦~}\fbox{ウ}\) であるから、\(y\) は
\(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最大値 \(\fbox{カ}\) 、
\(t=\fbox{キ}\) すなわち \(x=\fbox{ク}\) で最小値 \(\fbox{ケコ}\)
をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
79 数学ⅡBC【解答】
\(y=t^2-4t~,~0{\small ~≦~}t{\small ~≦~}3\)
\(t=0\) すなわち \(x=1\) で最大値 \(0\)
\(t=2\) すなわち \(x=4\) で最小値 \(-4\)
【より詳しい解説】
\(\log_{2}x=t\) とおくと、
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) の各辺に底 \(2\) の対数をとることで、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}1&{\small ~≦~}&\log_{2}x{\small ~≦~}\log_{2}8
\\[3pt]~~~\log_{2}1&{\small ~≦~}&\log_{2}x{\small ~≦~}\log_{2}2^3\end{eqnarray}\)
よって、\(0{\small ~≦~}t{\small ~≦~}3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&t^2-4t
\\[3pt]~~~&=&(t^2-4t+4)-4
\\[3pt]~~~&=&(t-2)^2-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) の範囲で、頂点 \((2~,~-4)\) の下に凸のグラフより、
\(t=0\) のとき最大値をとり、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-4 \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
このときの \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}x&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2^0
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
また、\(t=2\) のとき頂点の \(y\) 座標 \(-4\) が最小値であり、
このときの \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}x&=&2
\\[3pt]~~~x&=&2^2
\\[3pt]~~~x&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=1\) のとき最大値 \(0\)
\(x=4\) のとき最小値 \(-4\) となる
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