数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 69
69｜指数関数を含む2次方程式・2次不等式
69
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(4^x+2^{x+1}-8=0\) は、\(2^x=t\) とおくと、
\(t^2+\fbox{ア}\,t-\fbox{イ}=0\) と表されるから、
\(t=\fbox{ウ}\) であり、\(x=\fbox{エ}\) である。
\({\small (2)}~\)\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{2x-1}-4\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{x}+1 \lt 0\) は、
\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{x}=t\) とおくと、
\(\fbox{オ}\,t^2-\fbox{カ}\,t+\fbox{キ} \lt 0\) と表されるから、
\(t\) の値の範囲は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,} \lt t \lt \fbox{コ}\) であり、
\(x\) の値の範囲は \(\fbox{サ} \lt x \lt \fbox{シ}\) である。
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(4^x+2^{x+1}-8=0\) は、\(2^x=t\) とおくと、
\(t^2+\fbox{ア}\,t-\fbox{イ}=0\) と表されるから、
\(t=\fbox{ウ}\) であり、\(x=\fbox{エ}\) である。
\({\small (2)}~\)\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{2x-1}-4\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{x}+1 \lt 0\) は、
\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^{x}=t\) とおくと、
\(\fbox{オ}\,t^2-\fbox{カ}\,t+\fbox{キ} \lt 0\) と表されるから、
\(t\) の値の範囲は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,} \lt t \lt \fbox{コ}\) であり、
\(x\) の値の範囲は \(\fbox{サ} \lt x \lt \fbox{シ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
69 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(t^2+2t-8=0~,~t=2~,~x=1\)
\({\small (2)}~\)\(3t^2-4t+1 \lt 0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt t \lt 1~,~\)
\(0 \lt x \lt 1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(4^x+2^{x+1}-8=0\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4^x+2^{x+1}-8&=&0
\\[3pt]~~~(2^2)^x+2^x \cdot 2^1-8&=&0
\\[3pt]~~~(2^x)^2+2 \cdot 2^x-8&=&0\end{eqnarray}\)
\(2^x=t\) とおくと、
\(2^x \gt 0\) より、\(t \gt 0\)
方程式を \(t\) で表して解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2+2t-8&=&0
\\[3pt]~~~(t+4)(t-2)&=&0\end{eqnarray}\)
\(t \gt 0\) より、解は \(t=2\)
\(t=2^x\) と元に戻すと、
\(2^x=2^1\)
したがって、\(x=1\) となる
\({\small (2)}~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{2x-1}-4\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x+1 \lt 0\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{2x-1}-4\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x+1 &\lt& 0
\\[5pt]~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{2x} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{-1}-4\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x+1 &\lt& 0
\\[5pt]~~~3\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x\right\}^2-4\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x+1 &\lt& 0\end{eqnarray}\)
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x=t\) とおくと、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x \gt 0\) より、\(t \gt 0\)
不等式を \(t\) で表して解くと、
\(3t^2-4t+1 \lt 0\)
たすき掛けの因数分解より、
\(\begin{array}{c c c|c}
~~~3&&-1~&~-1\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&-1~&~-3\\[2pt]
\hline
&&&-4
\end{array}\)
\((3t-1)(t-1) \lt 0\)
\(0\) より小さい範囲は、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt t \lt 1\)
\(t \gt 0\) より、不等式の解は、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt t \lt 1\)
\(t=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x\) と元に戻すと、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x \lt 1\)
底を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) にそろえると、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^1 \lt \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x \lt \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^0\)
底が \(1\) より小さいので、指数部分の大小関係は逆になり、
\(1 \gt x \gt 0\)
したがって、\(0 \lt x \lt 1\) となる
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