数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 71
71｜2ˣ+2⁻ˣと4ˣ+4⁻ˣを含む関数の最小値
71
\(y=4^x+4^{-x}-2\left(\,2^x+2^{-x}\,\right)\) は、
\(t=2^x+2^{-x}\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t-\fbox{イ}\) となり、\(t{\small ~≧~}\fbox{ウ}\) であるから、
\(y\) は \(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最小値 \(\fbox{カキ}\) をとる。
\(y=4^x+4^{-x}-2\left(\,2^x+2^{-x}\,\right)\) は、
\(t=2^x+2^{-x}\) とおくと \(y=t^2-\fbox{ア}\,t-\fbox{イ}\) となり、\(t{\small ~≧~}\fbox{ウ}\) であるから、
\(y\) は \(t=\fbox{エ}\) すなわち \(x=\fbox{オ}\) で最小値 \(\fbox{カキ}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
71 数学ⅡBC【解答】
\(y=t^2-2t-2~,~t{\small ~≧~}2\)
\(t=2\) すなわち \(x=0\) で最小値 \(-2\)
【より詳しい解説】
\(2^x+2^{-x}=t\) の両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2^x+2^{-x})^2&=&t^2
\\[3pt]~~~(2^x)^2+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}+(2^{-x})^2&=&t^2
\\[3pt]~~~(2^2)^x+(2^2)^{-x}+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}&=&t^2
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}+2&=&t^2\hspace{30pt}(\,∵~2^x \cdot 2^{-x}=1\,)
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}&=&t^2-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(2^x)^2+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}+(2^{-x})^2&=&t^2
\\[3pt]~~~(2^2)^x+(2^2)^{-x}+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}&=&t^2
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}+2&=&t^2\hspace{30pt}(\,∵~2^x \cdot 2^{-x}=1\,)
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}&=&t^2-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(2^x \gt 0~,~2^{-x} \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の関係を用いると、
\(t=2^x+2^{-x}{\small ~≧~}2\sqrt{\,2^x \cdot 2^{-x}\,}=2\)
よって、
\(t{\small ~≧~}2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、等号が成立するのは、\(2^x=2^{-x}\) のときで、
\(x=-x\) より \(x=0\) のとき
\({\small [\,1\,]}\) より、\(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(4^x+4^{-x})-2(2^x+2^{-x})
\\[3pt]~~~&=&(t^2-2)-2t
\\[3pt]~~~&=&t^2-2t-2
\\[3pt]~~~&=&(t^2-2t+1)-1-2
\\[3pt]~~~&=&(t-1)^2-3\end{eqnarray}\)
\(t{\small ~≧~}2\) の範囲で、頂点 \((1~,~-3)\) の下に凸のグラフより、
\(t=2\) のとき最小値をとるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2 \cdot 2-2
\\[3pt]~~~&=&4-4-2
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
また、\(t=2\) となるのは、\({\small [\,2\,]}\) の等号が成立する \(x=0\) のとき
したがって、
\(x=0\) のとき最小値 \(-2\) となる
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