数学Ⅱ｜指数関数と対数関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 68
68｜指数関数を含む方程式・不等式
68
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(2^{x+1}=8\) の解は、\(x=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\(9^x{\small ~≦~}27\) の解は、\(x\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\,\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{x} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) の解は、\(x\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\,\fbox{カ}\) である。
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)・\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) の選択肢：
⓪ \(\lt\) ① \({\small ≦}\) ② \(\gt\) ③ \({\small ≧}\)
次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(2^{x+1}=8\) の解は、\(x=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\(9^x{\small ~≦~}27\) の解は、\(x\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\,\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)\(\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{x} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) の解は、\(x\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\,\fbox{カ}\) である。
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)・\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) の選択肢：
⓪ \(\lt\) ① \({\small ≦}\) ② \(\gt\) ③ \({\small ≧}\)
共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数
68 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(x=2\)
\({\small (2)}~\)\(x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)（①）
\({\small (3)}~\)\(x \lt 3\)（⓪）
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)両辺の底を \(2\) にそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{x+1}&=&8
\\[3pt]~~~2^{x+1}&=&2^3\end{eqnarray}\)
指数部分を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+1&=&3
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)両辺の底を \(3\) にそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~9^x&{\small ~≦~}&27
\\[3pt]~~~(3^2)^x&{\small ~≦~}&3^3
\\[3pt]~~~3^{2x}&{\small ~≦~}&3^3\end{eqnarray}\)
底が \(1\) より大きいので、指数部分の大小関係はそのままであり、
\(\begin{eqnarray}~~~2x&{\small ~≦~}&3
\\[5pt]~~~x&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) となる
※ 不等号の向きはそのままで、等号も含むので、① \({\small ≦}\) を選ぶ。
\({\small (3)}~\)両辺の底を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) にそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x&\gt&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x&\gt&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3\end{eqnarray}\)
底が \(1\) より小さいので、指数部分の大小関係は逆になる
したがって、\(x \lt 3\) となる
※ 不等号の向きが逆になり、等号は含まないので、⓪ \(\lt\) を選ぶ。
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